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  • 2021-06-16 发布

人教A版高中数学2-3幂函数教案新人教版必修1

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2.3 幂函数(教学设计) 教学目的: 1.通过实例,了解幂函数的概念. 2.具体结合函数 12 1 32 ,,,,  xyxyxyxyxy 的图象,了解幂函数的变化情况. 3.在归纳五个幂函数的基本性质时,应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中 的思想方法,对研究这些函数的思路作出指导. 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质. 教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难. 一、新课导入 先看五个具体的问题: (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克,那么她需要支付 p=w 元,这里 p 是 w 的函数; (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 2aS  ,这里 S 是 a 的函数; (3)如果立方体的边长为 a,求立方体的体积 3aV  ,这里V 是 a 的函数; (4)如果一个正方形场地的面积为 S ,那么这个正方形的边长 2 1 Sa  ,这里 a 是 S 的函数; (5)如果某人t s 内骑车进行了 1km,那么他骑车的平均速度 1 tv km/s,这里 v 是t 的函数. 讨论:以上五个问题中的函数具有什么共同特征? 它们具有的共同特征:幂的底数是自变量,指数是常数. 从上述函数中,我们观察到,它们都是形如 y x 的函数. 二、师生互动,新课讲解: 1、幂函数的定义 一般地,函数 xy  )( Ra  叫做幂函数(power function),其中 x 是自变量, 是常数.对于幂函数 xy  , 我们只讨论 1,2 1,3,2,1  时的情形. 2、幂函数的图象 在同一直角坐标系内作出幂函数 xy  ; 2 1 xy  ; 2xy  ; 1 xy ; 3xy  的图象. 观察以上函数的图象的特征,归纳出幂函数的性质. 3、幂函数的性质 1).五个具体的幂函数的性质 (1)函数 xy  ; 2 1 xy  ; 2xy  ; 3xy  和 1 xy 的图象都通过点(1,1); (2)函数 xy  ; 3xy  ; 1 xy 是奇函数,函数 2xy  是偶函数; (3)在区间 ),0(  上,函数 xy  , 2xy  , 3xy  和 2 1 xy  是增函数,函数 1 xy 是减函数; (4)在第一象限内,函数 1 xy 的图象向上与 y 轴无限接近,向右与 x 轴无限接近. 2).一般的幂函数的性质 (1)所有的幂函数 xy  在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2) 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 ),0[  上是增函数;  >1 时,图象向上,靠近 y 轴; 0< <1,图景向上,靠近 x 轴;  =1 是条直线。 (3) 0 时,幂函数的图象在区间 ),0(  上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于  时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴; (4)幂函数 xy  的图象,在第一象限内,直线 1x  的右侧,图象由下至上,指数 由小到大; y 轴和直 线 1x  之间,图象由上至下,指数 由小到大. 课堂练习: 已知幂函数 xy  在第一象限内的图象如图所示,且 分别取 111 22  ,,,四个值,则相应于曲线 1 2 3 4C C C C, , , 的 的值依次为 . xy  2xy  3xy  2 1 xy  1xy 定义域 R R R ),0[  }0|{ xx 值 域 R ),0[  R ),0[  }0|{ yy 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 增 增 公共点 (1,1) 例 1:(课本第 78 页例 1)证明幂函数 xxf )( 在 ),0[  上是增函数. 变式训练 1:利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小: (1) 4 3 3.2 , 4 3 4.2 ;(2) 5 6 31.0 , 5 6 35.0 ;(3) 2 3 )2(  , 2 3 )3(  ;(4) 2 1 1.1  , 2 1 9.0  . 例 2:求下列函数的定义域,并判断它们的奇偶性: (1) 3y x ;(2) 2y x ;(3) 1 2y x ; (4) 1 3y x 解 (1)函数 3y x 的定义域是 R ,它是奇函数; (2)函数 2y x 即 2 1y x  ,其定义域是 ( ,0) (0, )  ,它是偶函数; (3)函数 1 2y x 即 y x ,其定义域是[0, ) ,它既不是奇函数,也不是偶函数; (4)函数 1 3y x 即 3y x ,其定义域是 R ,它是奇函数. 变式训练 2: (1). 设 111 32a      ,,, ,则使函数 ay x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 a 值为( A ). (A) 1,3 (B) 1 ,1 (C) 1 ,3 (D) 1 ,1,3 (2). 若函数 3( ) ( )f x x x  R ,则函数 ( )y f x  在其定义域上是( B ). (A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数 (3)若幂函数 f(x)的图象经过点(3,1 9 ),则其定义域为( ) A.{x|x∈R,x>0} B.{x|x∈R,x<0}C.{x|x∈R,且 x≠0} D.R 解析:设 f(x)=xα.∵图象过点(3,1 9 ),∴1 9 =3α,即 3-2=3a,∴α=-2,即 f(x)=x-2=1 x2,∴x2≠0,即 x≠0. 答案:C 例 3:在同一坐标系作出函数 y=x2 与 y=2x 的图象。 变式训练 3:已知幂函数 f(x)= (m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函 数,则实数 m= ________. 解析:∵幂函数 f(x)= 在(0,+∞)上是减函数,∴m2-2m-3<0,∴-1(-1 5 )n,则 n=__________. 解析:可以逐一进行检验,也可利用幂函数的单调性求解. 答案:-1 或 2 3.(课本 P79 习题 2.3 NO:1)已知幂函数 )(xfy  的图象过点 )2,2( ,试求出这个函数的解析式. 4.(课本 P79 习题 2.3 NO:2)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 v(单位:cm3/s) 与管道半径 r(单位:cm)的四次方成正比. (1)写出气流流量速率 v 关于管道半径 r 的函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时,其流量速率 v 的表 达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5cm,计算该气体的流量速率(精确到 1cm3/s). 5.讨论函数 3 2 xy  的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说出函数的单调性. 6.已知函数 f(x)=2 x -xm,且 f(4)=-7 2 . (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(4)=-7 2 ,∴2 4 -4m=-7 2 .∴m=1. (2)f(x)=2 x -x 在(0,+∞)上单调递减, 证明如下: 任取 00, 2 x1x2 +1>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), 即 f(x)=2 x -x 在(0,+∞)上单调递减. B 组: 1.如果幂函数 f(x)= (p∈Z)是偶函数.且在(0,+∞)上是增函数.求 p 的值,并写出相应的 函数 f(x)的解析式. 解析:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴-1 2 p2+p+3 2 >0,即 p2-2p-3<0.∴-1