【数学】2019届一轮复习苏教版第4章三角函数解三角形第24讲学案 17页

第24讲　正弦定理、余弦定理 考试要求　1.正弦定理、余弦定理(B级要求)；2.运用定理解决解三角形问题(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.(　　)‎ ‎(5)在△ABC中，＝.(　　)‎ ‎(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)‎ 解析　(2)△ABC中，sin A>sin B，结合＝＝2R得a>b，故A>B.‎ ‎(5)△ABC中，＝＝＝2R，‎ 故＝＝2R＝.‎ ‎(6)已知两边和一角，就能由余弦定理或正弦定理解出这个三角形的其它角与边，故据面积公式S△ABC＝absin C即可求三角形的面积.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√‎ ‎2.(教材改编)在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC＝________.‎ 解析　∵b＝＝＝＋，‎ ‎∵S△ABC＝absin C＝(＋)×＝＋1.‎ 答案　＋1‎ ‎3.(2017·苏、锡、常、镇调研二)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，‎ c，若满足2bcos A＝2c－a，则角B的大小是________.‎ 解析　由余弦定理，2bcos A＝2c－a，‎ 即2b·＝2c－a，‎ ‎∴b2＋c2－a2＝2c2－ac，‎ 即a2＋c2－b2＝ac，‎ ‎∴cos B＝＝＝，‎ 又B∈(0，π)，∴B＝.‎ 答案　 ‎4.(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为3，则BC的长是________.‎ 解析　因为b＝4，c＝3，由S△ABC＝bcsin A＝6sin A＝3，解得sin A＝.‎ 因为是在锐角三角形ABC中，所以cos A＝＝.在锐角三角形ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋9－2×4×3×＝13，所以a＝，即BC＝.‎ 答案　 ‎5.(2018·淮安质检)已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于________.‎ 解析　由正弦定理得sin B＝2sin A·cos B，故tan B＝2sin A＝2sin＝，‎ 又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC ‎＝bcsin A＝×1×1×＝.‎ 答案　 知 识 梳 理 ‎1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos__C 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，‎ b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，bsin C＝cos A＝；‎ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin__B＝bcsin__A；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).‎ 考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 ‎【例1】 (2018·连云港、徐州、宿迁调研)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB＝，BC＝13.‎ ‎(1)求cos B的值；‎ ‎(2)求CD的长.‎ 解　(1)在△ABC中，cos A＝，A∈(0，π)，‎ 所以sin A＝＝＝.‎ 同理可得sin∠ACB＝.‎ 所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)‎ ‎＝sin Asin ∠ACB－cos Acos∠ACB ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由正弦定理得AB＝sin∠ACB＝×＝20，‎ 又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.‎ 在△BCD中，由余弦定理得，‎ CD＝ ‎＝＝9.‎ 规律方法　应用正弦、余弦定理的解题技巧 ‎(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解.‎ ‎(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解.‎ ‎(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.‎ ‎(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.‎ ‎【训练1】 (1)(2018·扬州中 模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝________.‎ ‎(2)(2018·南京、盐城调研)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则c＝________.‎ 解析　(1)a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).‎ ‎(2)因为cos B＝，所以B∈，‎ 从而sin B＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin AcosB＋cos Asin B＝×＋×＝，‎ 又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.‎ 答案　(1)4　(2)7‎ 考点二　与三角形面积有关的问题 ‎【例2】 (2018·南通模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)(一题多解)若c＝2acos B，b＝2，求△ABC的面积.‎ 解　(1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得＝－，即cos C＝－.‎ 因为00，‎ ‎∴sin A＝1，即A＝.‎ 答案　直角三角形 ‎【迁移探究1】 (一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是________.‎ 解析　法一　由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π0)，‎ 由余弦定理可得 cos C＝＝＝－<0，‎ 又∵C∈(0，π)，∴C∈，‎ ‎∴△ABC为钝角三角形.‎ 答案　钝角三角形 ‎【迁移探究3】 (一题多解)将本例条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C”，试确定△ABC的形状.‎ 解　法一　利用边的关系来判断：‎ 由正弦定理得＝，‎ 由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.‎ 又由余弦定理得cos A＝，‎ ‎∴＝，‎ 即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.‎ 又∵a2＋b2－c2＝ab.‎ ‎∴2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，‎ ‎∴b＝c，∴a＝b＝c.‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ 法二　利用角的关系来判断：‎ ‎∵A＋B＋C＝180°，‎ ‎∴sin C＝sin(A＋B)，‎ 又∵2cos Asin B＝sin C，‎ ‎∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ ‎∴sin(A－B)＝0，‎ 又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B.‎ 又由a2＋b2－c2＝ab，‎ 由余弦定理得cos C＝＝＝，‎ 又0°0，所以cos B<0，‎ 即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.‎ ‎(2)由3sin A＝5sin B及正弦定理得3a＝5b，‎ 故a＝b，c＝b.‎ 所以cos C＝＝－，‎ 即C＝π.‎ 从而△ABC为钝角三角形.‎ 答案　(1)钝角　(2)钝角 一、必做题 ‎1.(2018·启东中 高三月考)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tan B＝，则sin B的值是________.‎ 解析　因为cos B＝，‎ 所以5tan B＝＝＝，‎ 所以5sin B＝3，所以sin B＝.‎ 答案　 ‎2.(2018·常州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，则角C＝________.‎ 解析　根据余弦定理，有b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2bcsin A，整理得b2＋c ‎2＝2bcsin.又因为b2＋c2≥2bc，所以2bcsin≥2bc，sin≥1，即sin＝1，所以在△ABC中，b＝c，且A＝，所以C＝.‎ 答案　 ‎3.(2018·盐城模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为________三角形.‎ 解析　由bcos C＋ccos B＝asin A，‎ 得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，‎ 即sin A＝sin2A，在三角形中sin A≠0，‎ ‎∴sin A＝1，∴A＝90°，‎ 由sin2B＝sin2C，知b＝c，‎ 综上可知，△ABC为等腰直角三角形.‎ 答案　等腰直角 ‎4.(2018·连云港模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.‎ 解析　∵b＝2，B＝，C＝.‎ 由正弦定理＝，‎ 得c＝＝＝2，‎ A＝π－＝π，‎ ‎∴sin A＝sin＝sin cos ＋cos sin ‎＝.‎ 则S△ABC＝bc·sin A＝×2×2×＝＋1.‎ 答案　＋1‎ ‎5.(2017·江苏押题卷)在△ABC中，D、E为边BC上的点， 若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，B＝，BD∶DE＝2∶3，则tan∠BAC的值为________.‎ 解析　设∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝θ，BD＝2k，DE＝3k(k>0)，由题设可得 tan θ＝，tan 2θ＝＝，则＝，‎ 解之得tan θ＝，‎ 所以tan 2θ＝tan θ＝，‎ 故tan∠BAC＝tan 3θ＝tan(θ＋2θ)＝＝.‎ 答案　 ‎6.(2018·海门中 情调研)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2－ac，设∠BAC的平分线AD交BC于点D，AD＝2，BD＝1，则cos C＝________.‎ 解析　因为a2＋c2＝b2－ac，‎ 所以cos B＝＝－＝－.‎ 因为B∈(0，π)，所以B＝π.‎ 如图，在△ABD中，由正弦定理得＝，‎ 得sin∠BAD＝＝ ‎＝，‎ 所以cos∠BAC＝cos2∠BAD＝1－2sin2∠BAD＝1－2×＝，‎ 所以sin∠BAC＝＝ ‎＝，‎ 所以cos C＝cos ‎＝cos cos∠BAC＋sin sin∠BAC ‎＝×＋× ‎＝.‎ 答案　 ‎7.(2018·江苏联盟大联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ‎3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________.‎ 解析　在△ABC中，因为3acos C＋b＝0，所以C为钝角，利用正弦定理可得 ‎3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0，即3sin Acos C＋sin AcosC＋cos Asin C＝0，所以 ‎4sin Acos C＝－cos Asin C，即tan C＝－4tan A.‎ 因为tan A>0，‎ 则tan B＝－tan(A＋C)＝－ ‎＝＝ ‎＝≤＝，‎ 当且仅当tan A＝时取等号，故tan B的最大值是.‎ 答案　 ‎8.(2018·江苏联盟大联考)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－a＝2acos B，则的取值范围是________.‎ 解析　由正弦定理得sin C－sin A＝2sin Acos B，即sin(A＋B)－sin A＝2sin Acos B，sin A＝sin(B－A)，‎ 由锐角三角形ABC得A＝B－A，B＝2A，且由00，sin C>0，所以cos C＝，‎ 又C∈(0，π)，所以C＝.‎ ‎(2)因为C＝，所以B∈，‎ 所以B－∈，‎ 又sin＝，‎ 所以cos＝＝.‎ 又A＋B＝，即A＝－B，‎ 所以sin A＝sin＝sin ‎＝sin cos－cos sin ‎＝×－×＝.‎ ‎10.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acos B＝3，bcos A＝1，且A－B＝.‎ ‎(1)(一题多解)求边c的长；‎ ‎(2)求角B的大小.‎ 解　(1)法一　在△ABC中，由余弦定理，‎ acos B＝3，则a＝3，得a2＋c2－b2＝6c；①‎ bcos A＝1，则b＝1，得b2＋c2－a2＝2c，②‎ ‎①＋②得：2c2＝8c，c＝4.‎ 法二　因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 则sin AcosB＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 由＝＝得：sin A＝，sin B＝，代入上式得：‎ c＝acos B＋bcos A＝3＋1＝4.‎ ‎(2)由正弦定理得＝＝＝3，‎ 又tan(A－B)＝＝＝，‎ 解得tan B＝，B∈(0，π)，B＝.‎ 二、选做题 ‎11.(2017·江苏联盟大联考)已知函数f(x)＝4cos xsin ‎＋a的最大值为2.‎ ‎(1)求a的值及函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)在△ABC中，若A