【数学】2018届一轮复习北师大版二次函数的再研究与幂函数教案 9页

第四节　二次函数的再研究与幂函数 ‎ [考纲传真]　1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．‎ ‎1．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ 顶点式：f (x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；‎ 零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的零点．‎ ‎(2)二次函数的图像与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)‎ y＝ax2＋bx＋c(a＜0)‎ 图像 定义域 R 值域 单调性 在上减，‎ 在上增 在上增，‎ 在上减 对称性 函数的图像关于x＝－对称 ‎2.幂函数 ‎(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．‎ ‎(2)五种常见幂函数的图像与性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝x y＝x－1‎ 图像 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y≠0}‎ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 ‎(－∞，0)减，‎ ‎(0，＋∞)增 增 增 ‎(－∞，0)和 ‎(0，＋∞)减 公共点 ‎(1,1)‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(　　)‎ ‎(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)‎ ‎(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)．(　　)‎ ‎(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知幂函数f (x)＝xα的图像过点(4,2)，若f (m)＝3，则实数m的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．± C．± D．9‎ D　[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝.‎ 所以f (x)＝x＝，‎ 故f (m)＝＝3⇒m＝9.]‎ ‎3．已知函数f (x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是(　　)‎ ‎【导学号：66482042】‎ A. B． C. D． C　[由题意知即得a＞.]‎ ‎4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f (x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是(　　)‎ ‎【导学号：66482043】‎ A．0　　　 B．1 ‎ C．2　　　 D．4‎ C　[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.]‎ ‎5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________.‎ ‎【导学号：66482044】‎ y＝－x2＋2x＋8　[设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，‎ 当x＝1时，ymax＝－‎9a＝9，∴a＝－1，‎ ‎ ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]‎ 求二次函数的解析式 ‎　已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．‎ ‎[解]　法一(利用一般式)：‎ 设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 2分 由题意得8分 解得 ‎∴所求二次函数为f (x)＝－4x2＋4x＋7. 12分 法二(利用顶点式)：‎ 设f (x)＝a(x－m)2＋n.‎ ‎∵f (2)＝f (－1)，‎ ‎∴抛物线的图像的对称轴为x＝＝. 3分 ‎∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.‎ ‎∴y＝f (x)＝a2＋8. 8分 ‎∵f (2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，‎ ‎∴f (x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 12分 法三(利用零点式)：‎ 由已知f (x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，2分 故可设f (x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，‎ 即f (x)＝ax2－ax－‎2a－1. 6分 又函数的最大值是8，即＝8，‎ 解得a＝－4，‎ ‎∴所求函数的解析式为f (x)＝－4x2＋4x＋7. 12分 ‎[规律方法]　用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下 ‎[变式训练1]　已知二次函数f (x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (2＋x)，求f (x)的解析式．‎ ‎[解]　∵f (2－x)＝f (2＋x)对x∈R恒成立，‎ ‎∴f (x)的对称轴为x＝2. 2分 又∵f (x)的图像被x轴截得的线段长为2，‎ ‎∴f (x)＝0的两根为1和3. 6分 设f (x)的解析式为f (x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．‎ 又∵f (x)的图像过点(4,3)，‎ ‎∴‎3a＝3，a＝1. 10分 ‎∴所求f (x)的解析式为f (x)＝(x－1)(x－3)，‎ 即f (x)＝x2－4x＋3. 12分 二次函数的图像与性质 ‎☞角度1　二次函数图像的识别及应用 ‎　(1)设abc＞0，则二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是(　　)‎ A　　 　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D ‎(2)已知函数f (x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎(1)D　(2)　[(1)由A，C，D知，f (0)＝c＜0.‎ ‎∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f (0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．‎ ‎(2)作出二次函数f (x)的图像，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)＜0，则有 即解得－＜m＜0.]‎ ‎☞角度2　二次函数的最值问题 ‎　(1)(2017·广西一模)若xlog52≥－1，则函数f (x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)‎ ‎【导学号：66482045】‎ A．－4　　 B．－‎3　‎　‎ C．－1　　 D．0‎ ‎(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为(　　)‎ A．2 B．－1或－3‎ C．2或－3 D．－1或2‎ ‎(1)A　(2)D　[(1)xlog52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥，‎ 令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，‎ 当t＝1≥，即x＝0时，f (x)取得最小值－4.故选A.‎ ‎(2)函数f (x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图像的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：‎ ‎①当a≤0时，函数f (x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，‎ ‎∴f (x)max＝f (0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.‎ ‎②当0＜a≤1时，函数f (x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a,1]上是减函数，‎ ‎∴f (x)max＝f (a)＝－a2＋‎2a2＋1－a＝a2－a＋1，‎ 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．‎ ‎③当a＞1时，函数f (x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数，‎ ‎∴f (x)max＝f (1)＝－1＋‎2a＋1－a＝2，∴a＝2.‎ 综上可知，a＝－1或a＝2.]‎ ‎☞角度3　二次函数中的恒成立问题 ‎　已知a是实数，函数f (x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．‎ 　[由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．‎ 当x＝0时，适合；‎ 当x≠0时，a＜2－.‎ 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.‎ 综上，实数a的取值范围是.]‎ ‎[规律方法]　1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．‎ ‎2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f (x)⇔a≥f (x)max，a≤f (x)⇔a≤f (x)min.‎ 幂函数的图像与性质 ‎　(1)幂函数y＝f (x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f (x)的图像是(　　)‎ A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D ‎(2)已知幂函数f (x)＝xm2－‎2m－3(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．‎ ‎(1)C　(2)1　[(1)令f (x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，‎ ‎∴f (x)＝x.‎ ‎(2)∵f (x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴m2－‎2m－3＜0，解得－1＜m＜3.‎ 又m∈N*，∴m＝1或m＝2.‎ 由于f (x)的图像关于y轴对称．‎ ‎∴m2－‎2m－3的值应为偶数，‎ 又当m＝2时，m2－‎2m－3为奇数，‎ ‎∴m＝2舍去．因此m＝1.]‎ ‎[规律方法]　1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．‎ ‎2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．‎ ‎3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上递减，则α＜0.‎ ‎[变式训练2]　(1)设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ ‎【导学号：66482046】‎ A．a＞c＞b　　　　　 B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c ‎(2)若(a＋1)＜(3－‎2a)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)D　(2)　[(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以b＞a＞c.‎ ‎(2)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．二次函数的三种形式的选法 ‎(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．‎ ‎(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．‎ ‎(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x)更方便．‎ ‎2．研究二次函数的性质要注意 ‎(1)结合图像分析；‎ ‎(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．‎ ‎3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．‎ ‎4．幂函数y＝xα(α∈R)图像的特征 α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；‎ α＜0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．‎ ‎2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎