【数学】2020届一轮复习北师大版专题五　立体几何学案 3页

专题五　立体几何 年份 卷别 小题考查 大题考查 ‎2018‎ 全国卷Ⅰ T5·求圆柱的表面积 T18·折叠问题，面面垂直的证明及三棱锥体积的计算 T9·有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题 T10·长方体的体积的求解问题 全国卷Ⅱ T9·异面直线所成的角 T19·线面垂直的证明，点面距的计算 T16·线面角、圆锥体积的计算 全国卷Ⅲ T3·三视图的有关问题 T19·面面垂直的证明，线面平行的判断，存在性问题 T12·三棱锥外接球体积的计算 ‎2017‎ 全国卷Ⅰ T6·空间直线与平面位置关系的判断 T18·面面垂直的证明，四棱锥体积、侧面积的计算 T16·三棱锥外接球体积的计算，球表面积的计算 全国卷Ⅱ T6·空间几何体的三视图及体积的计算 T18·线面平行的证明，四棱锥体积的计算 T15·长方体外接球表面积的计算 全国卷Ⅲ T9·球的内接圆柱、圆柱体积的计算 T19·线线垂直的证明，四面体体积的计算 T10·空间中线线垂直的判断 ‎2016‎ 全国卷Ⅰ T7·空间几何体的三视图及球的表面积、体积的计算 T18·空间位置关系，四面体体积的计算 T11·空间两直线所成角的正弦值的计算 全国卷Ⅱ T4·正方体外接球表面积的计算 T19·线线垂直的证明，几何体体积的计算 T7·空间几何体的三视图及表面积的计算 全国卷Ⅲ T10·空间几何体的三视图及表面积的计算 T19·线线平行的证明，四面体体积的计算 T11·直三棱柱及球的体积的最值计算 立体几何问题重在“转”——转化、转换 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是转化、转换．转化——空间平行关系间的转化、垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的转化等；转换——对几何体的体积、锥体体积考查顶点转换，多面体体积多分割转换为几个规则几何体的体积和或体积差来求解，求体积时距离与体积计算的转换等．‎ ‎【典例】　如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积．‎ ‎[解题示范]　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2．‎ 取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2．‎ 又AD∥BC，故TN綊AM，‎ 所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．‎ 因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB❶．‎ ‎(2)解：因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA．‎ 取BC中点E，连接AE．‎ 由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝．‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，‎ 故S△BCM＝×4×＝2．‎ 所以四面体NBCM的体积 VNBCM＝×S△BCM×＝.❷‎ ‎❶转化：平行关系间的转化．线∥线⇒线∥面．TN∥BC，AD∥BC⇒TN綊AM⇒MN∥AT⇒MN∥平面PAB．‎ ‎❷转换：距离与体积的计算转换．‎ 点面距、点线距⇒体积的计算．‎ AE＝⇒点M到BC的距离为；点N到平面ABCD的距离为PA⇒四面体NBCM的体积．‎ 立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定，因此，复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依．在平时的学习中，要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面模型．其中，平行、垂直关系的判定与性质是立体几何的核心内容；空间距离、面积与体积的计算是重点内容．‎