2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 函数的单调性奇偶性及周期性 6页

高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性 一、选择题 1．(2017·北京高考)已知函数 f(x)＝3x－ 1 3 x，则 f(x)( ) A．是奇函数，且在 R 上是增函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是减函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数 解析：选 A 因为 f(x)＝3x－ 1 3 x，且定义域为 R， 所以 f(－x)＝3－x－ 1 3 －x＝ 1 3 x－3x＝－[3x－ 1 3 x ＝－f(x)，即函数 f(x)是奇函数． 又 y＝3x 在 R 上是增函数，y＝ 1 3 x 在 R 上是减函数， 所以 f(x)＝3x－ 1 3 x 在 R 上是增函数． 2．(2018·辽宁阶段测试)设函数 f(x)＝ln(1＋x)＋mln (1－x)是偶函数，则( ) A．m＝1，且 f(x)在(0,1)上是增函数 B．m＝1，且 f(x)在(0,1)上是减函数 C．m＝－1，且 f(x)在(0,1)上是增函数 D．m＝－1，且 f(x)在(0,1)上是减函数 解析：选 B 因为函数 f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数， 所以 f 1 2 ＝f －1 2 ，则(m－1)ln3＝0，即 m＝1， 则 f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)， 因为 x∈(0,1)时，y＝1－x2 是减函数，故 f(x)在(0,1)上是减函数，故选 B. 3．已知 x，y∈R，且 x>y>0，则( ) A.1 x －1 y>0 B．sin x－sin y>0 C. 1 2 x－ 1 2 y<0 D．ln x＋ln y>0 解析：选 C A 项，考查的是反比例函数 y＝1 x 在(0，＋∞)上单调递减，因为 x>y>0， 所以1 x －1 y<0，所以 A 错误；B 项，考查的是三角函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有 sin x>sin y，所以 B 错误；C 项，考查的是指 数函数 y＝ 1 2 x 在(0，＋∞)上单调递减，因为 x>y>0，所以有 1 2 x< 1 2 y，即 1 2 x－ 1 2 y<0， 所以 C 正确；D 项，考查的是对数函数 y＝ln x 的性质，ln x＋ln y＝ln xy，当 x>y>0 时，xy>0， 不一定有 ln xy>0，所以 D 错误． 4．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x＜0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x＞1 2 时，f x＋1 2 ＝f x－1 2 ，则 f(6)＝( ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选 D 由题意可知，当－1≤x≤1 时，f(x)为奇函数，且当 x>1 2 时，f(x＋1)＝f(x)， 所以 f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而 f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以 f(6)＝2.故选 D. 5．(2018·湖南联考)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若 a＝f sin2π 7 ，b＝f cos5π 7 ，c＝f tan5π 7 ，则 a，b，c 的大小关系为( ) A．b0，∴tan5π 7 f(2x－1)成立的 x 的取值范围是( ) A. 1 3 ，1 B. －∞，1 3 ∪(1，＋∞) C. －1 3 ，1 3 D. －∞，1 3 ∪ 1 3 ，＋∞ 解析：选 A 由题意知，f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)是偶函数， 当 x≥0 时，易得函数 f(x)＝ln(1＋x)－ 1 1＋x2 是增函数， 所以不等式 f(x)>f(2x－1)等价于|2x－1|<|x|，解得1 30.若 f －1 3 ＝1 2 ，2f log1 8 x <1，则 x 的取值范围为________． 解析：由 f(－x)＝f(x)可知，函数 f(x)是偶函数， 因为对于任意 x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有fx2－fx1 x1－x2 >0，即fx2－fx1 x2－x1 <0， 所以函数 f(x)在[0，＋∞)上是减函数． 又因为 f －1 3 ＝1 2 ，所以 2f log1 8 x <1＝2f －1 3 ， 所以|log 1 8 x|>1 3 ，即 log 1 8 x>1 3 或 log 1 8 x<－1 3 ， 所以 02， 即 x 的取值范围为 0，1 2 ∪(2，＋∞)． 答案： 0，1 2 ∪(2，＋∞) 12．(2017·江苏高考)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－1 ex ，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a －1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由 f(x)＝x3－2x＋ex－1 ex ， 得 f(－x)＝－x3＋2x＋1 ex －ex＝－f(x)， 所以 f(x)是 R 上的奇函数． 又 f′(x)＝3x2－2＋ex＋1 ex ≥3x2－2＋2 ex·1 ex ＝3x2≥0，当且仅当 x＝0 时取等号， 所以 f(x)在其定义域内单调递增． 因为 f(a－1)＋f(2a2)≤0， 所以 f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)， 所以 a－1≤－2a2，解得－1≤a≤1 2 ， 故实数 a 的取值范围是 －1，1 2 . 答案： －1，1 2 三、解答题 13．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝log 1 2 x. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x2－1)>－2. 解：(1)当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝log 1 2 (－x)． 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)． 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ log1 2 x，x>0， 0，x＝0， log 1 2 －x，x<0. (2)因为 f(4)＝log 1 2 4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式 f(x2－1)>－2 可化为 f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－ 50,2x1＋x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 故 f(x)在(0,1)上是减函数． 1．已知奇函数 f(x)(x∈D)，当 x>0 时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题： ①D＝[－1,1]； ②对∀x∈D，|f(x)|≤2； ③∃x0∈D，使得 f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得 f(x1)＝1. 其中所有正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 A 由奇函数 f(x)(x∈D)，当 x>0 时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与 定义域无关，故①错误； 对于②，可能 f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误； 对于③，当 0 不在 D 中，且 x 轴为渐近线时，则不满足③； 当 y＝1 为渐近线时，不满足④，因此选 A. 2．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝1 2(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)， 若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数 a 的取值范围为( ) A. －1 3 ，1 3 B. － 3 3 ， 3 3 C. －1 6 ，1 6 D. － 6 6 ， 6 6 解析：选 D 当 x≥0 时，f(x)＝ －x，0≤x