2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 三角函数的3个基本考点定义公式和关系 5页

高考达标检测（十五） 三角函数的 3 个基本考点 ——定义、公式和关系 一、选择题 1.如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 B，C 在圆 O 上，且 B 4 5 ，－3 5 ，点 C 在第一象限，∠AOC＝α，BC＝1，则 cos 5π 6 －α ＝ ( ) A．－4 5 B．－3 5 C. 3 5 D. 4 5 解析：选 B 由已知可得 OB＝1，即圆 O 的半径为 1， 又因为 BC＝1，所以△OBC 是等边三角形， 所以 cos 5π 6 －α ＝cos π 2 ＋ π 3 －α ＝－sin π 3 －α ＝－sin∠BOA＝－3 5. 2．(2018·江西六校联考)点 A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 C 因为 sin 2 018°＝sin(11×180°＋38°) ＝－sin 38°＜0，cos 2 018°＝cos(11×180°＋38°) ＝－cos 38°＜0， 所以点 A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限． 3．若 sin θcos θ＝1 2 ，则 tan θ＋cos θ sin θ 的值是( ) A．－2 B．2 C．±2 D.1 2 解析：选 B tan θ＋cos θ sin θ ＝sin θ cos θ ＋cos θ sin θ ＝ 1 cos θsin θ ＝2. 4．(2018·江西五校联考)cos 350°－2sin 160° sin－190° ＝( ) A．－ 3 B．－ 3 2 C. 3 2 D. 3 解析：选 D 原式＝cos360°－10°－2sin180°－20° －sin180°＋10° ＝cos 10°－2sin30°－10° －－sin 10° ＝cos 10°－2 1 2cos 10°－ 3 2 sin 10° sin 10° ＝ 3sin 10° sin 10° ＝ 3. 5．已知 A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针 旋转 30°，交单位圆于点 B(xB，yB)，则 xA－yB 的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[－ 2， 2] C．[－1,1] D. －1 2 ，1 2 解析：选 C 设沿 x 轴正方向逆时针旋转到射线 OA 的角为α， 根据三角函数的定义得 xA＝cos α，yB＝sin(α＋30°)， 所以 xA－yB＝cos α－sin(α＋30°)＝－ 3 2 sin α＋1 2cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]． 6．(2018·日照模拟)已知－π 2 ＜α＜0，sin α＋cos α＝1 5 ，则 1 cos2α－sin2α 的值为( ) A.7 5 B. 7 25 C.25 7 D.24 25 解析：选 C ∵sin α＋cos α＝1 5 ，∴1＋sin 2α＝ 1 25 ，即 sin 2α＝－24 25 ， 又∵－π 2<α<0，∴cos α－sin α>0. ∴cos α－sin α＝ 1－sin 2α＝7 5 ， ∴ 1 cos2α－sin2α ＝ 1 cos α＋sin αcos α－sin α ＝25 7 . 二、填空题 7．若 tan α＝3，则 sinα－π＋cosπ－α sin π 2 －α ＋cos π 2 ＋α ＝________. 解析：因为 tan α＝3，所以 sinα－π＋cosπ－α sin π 2 －α ＋cos π 2 ＋α ＝－sin α－cos α cos α－sin α ＝tan α＋1 tan α－1 ＝2. 答案：2 8．(2018·枣庄模拟)已知 cos π 6 －θ ＝a(|a|≤1)，则 cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ 的值是 ________． 解析：由题意知，cos 5π 6 ＋θ ＝cos π－ π 6 －θ ＝－cos π 6 －θ ＝－a. sin 2π 3 －θ ＝sin π 2 ＋ π 6 －θ ＝cos π 6 －θ ＝a， ∴cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ ＝0. 答案：0 9．(2018·成都一诊)在直角坐标系 xOy 中，已知任意角θ以坐标原点 O 为顶点，以 x 轴 的非负半轴为始边，若其终边经过点 P(x0，y0)，且 OP＝r(r＞0)，定义：sicos θ＝y0－x0 r ， 称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若 sicos θ＝0，则 sin 2θ－π 3 ＝________. 解析：因为 sicos θ＝0，所以 y0＝x0，所以θ的终边在直线 y＝x 上， 所以当θ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z 时，sin 2θ－π 3 ＝sin 4kπ＋π 2 －π 3 ＝cosπ 3 ＝1 2 ； 当θ＝2kπ＋5π 4 ，k∈Z 时，sin 2θ－π 3 ＝sin 4kπ＋5π 2 －π 3 ＝cosπ 3 ＝1 2. 综上得 sin 2θ－π 3 ＝1 2. 答案：1 2 三、解答题 10．已知角α的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋ 3 cos α 的值． 解：设α终边上任一点为 P(k，－3k)， 则 r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|. 当 k＞0 时，r＝ 10k， ∴sin α＝－3k 10k ＝－ 3 10 ， 1 cos α ＝ 10k k ＝ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝－3 10＋3 10＝0； 当 k＜0 时，r＝－ 10k，∴sin α＝ －3k － 10k ＝ 3 10 ， 1 cos α ＝－ 10k k ＝－ 10， ∴10sin α＋ 3 cos α ＝3 10－3 10＝0. 综上，10sin α＋ 3 cos α ＝0. 11．已知 cos(α－7π)＝－3 5 ，求 sin(3π＋α)·tan α－7π 2 的值． 解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－3 5 ，∴cos α＝3 5. ∴sin(3π＋α)·tan α－7π 2 ＝sin(π＋α)· －tan 7π 2 －α ＝sin α·tan π 2 －α ＝sin α· sin π 2 －α cos π 2 －α ＝sin α·cos α sin α ＝cos α＝3 5. 12．已知α为第三象限角， f(α)＝sin α－π 2 ·cos 3π 2 ＋α ·tanπ－α tan－α－π·sin－α－π . (1)化简 f(α)； (2)若 cos α－3π 2 ＝1 5 ，求 f(α)的值． 解：(1)f(α)＝sin α－π 2 ·cos 3π 2 ＋α ·tanπ－α tan－α－π·sin－α－π ＝－cos α·sin α·－tan α －tan α·sin α ＝－cos α. (2)∵cos α－3π 2 ＝1 5 ，∴－sin α＝1 5 ，从而 sin α＝－1 5. 又α为第三象限角，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6 5 ， ∴f(α)＝－cos α＝2 6 5 . 1．若 sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则 cos β的值为( ) A. 1－m2 B．－ 1－m2 C. m2－1 D．－ m2－1 解析：选 B 因为 m＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)， 所以 sin β＝－m. 因为β为第三象限角， 所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－m2. 2．化简cos2nπ＋x·sin2nπ－x cos2[2n＋1π－x] (n∈Z)的结果为________． 解析：当 n 为偶数，即 n＝2k(k∈Z)时， 原式＝cos22kπ＋x·sin22kπ－x cos2[2×2k＋1π－x] ＝cos2x·sin2－x cos2π－x ＝cos2x·－sin x2 －cos x2 ＝sin2x； 当 n 为奇数，即 n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x] cos2{[2×2k＋1＋1]π－x} ＝cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x] cos2[2×2k＋1π＋π－x] ＝cos2π＋x·sin2π－x cos2π－x ＝－cos x2sin2x －cos x2 ＝sin2x， 故化简的结果为 sin2x. 答案：sin2x