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- 2021-06-16 发布
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高考达标检测(十三) 极值、最值两考点,利用导数巧推演
一、选择题
1.函数 f(x)=(x2-1)2+2 的极值点是( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=1 或-1 或 0 D.x=0
解析:选 C ∵f(x)=x4-2x2+3,
∴由 f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,
得 x=0 或 x=1 或 x=-1,
又当 x<-1 时,f′(x)<0,当-10,
当 01 时,f′(x)>0,
∴x=0,1,-1 都是 f(x)的极值点.
2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则a
b
的值为( )
A.-2
3 B.-2
C.-2 或-2
3 D.2 或-2
3
解析:选 A 由题意知,f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=0,f(1)=10,
即 3+2a+b=0,
1+a+b-a2-7a=10,
解得 a=-2,
b=1
或 a=-6,
b=9,
经检验 a=-6,
b=9
满足题意,故a
b
=-2
3.
3.(2018·浙江瑞安中学月考)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象如
图所示,则 x21+x 22等于( )
A.2
3 B.4
3
C.8
3 D.16
3
解析:选 C 由图象可知 f(x)过点(1,0)与(2,0),x1,x2 是函数 f(x)的极值点,
因此 1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得 b=-3,c=2,
所以 f(x)=x3-3x2+2x,所以 f′(x)=3x2-6x+2.
x1,x2 是方程 f′(x)=3x2-6x+2=0 的两根,
因此 x1+x2=2,x1x2=2
3
,所以 x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-4
3
=8
3.
4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的
切线斜率均为-1,有以下命题:
①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];
②f(x)的极值点有且仅有一个;
③f(x)的最大值与最小值之和等于零.
其中正确的命题个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选 C f′(x)=3x2+2ax+b,
因为函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线
斜率均为-1,
所以
f′1=3+2a+b=-1,
f′-1=3-2a+b=-1,
c=0,
解得
a=0,
b=4,
c=0,
则 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2],故①正确;
f′(x)=3x2-4,令 f′(x)=0,解得 x=±2 3
3
∈[-2,2],
易知,x=±2 3
3
均为函数的极值点,故②错误;
易知函数 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]是奇函数,所以最大值与最小值之和为 0,故③正
确.
因此,正确命题的个数为 2,故选 C.
5.(2017·长沙二模)已知函数 f(x)= x
x2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为 3
3
,则 a 的值
为( )
A. 3-1 B.3
4
C.4
3 D. 3+1
解析:选 A 由 f(x)= x
x2+a
,得 f′(x)= a-x2
x2+a2
,
当 a>1 时,若 x> a,则 f′(x)<0,f(x)单调递减,
若 1<x< a,则 f′(x)>0,f(x)单调递增,
故当 x= a时,函数 f(x)有最大值 1
2 a
= 3
3
,得 a=3
4
<1,不合题意;
当 a=1 时,函数 f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为 f(1)=1
2
,不合题意;
当 0<a<1 时,函数 f(x)在 [1,+∞)上单调递减,此时最大值为 f(1)= 1
a+1
= 3
3
,得
a= 3-1,符合题意.故 a 的值为 3-1,选 A.
6.已知直线 l1:y=x+a 分别与直线 l2:y=2(x+1)及曲线 C:y=x+ln x 交于 A,B
两点,则 A,B 两点间距离的最小值为( )
A.3 5
5 B.3
C.6 5
5 D.3 2
解析:选 D 由 y=x+a,
y=2x+1,
得 A(a-2,2a-2),
由 y=x+a,
y=x+ln x,
得 B(ea,a+ea),
|AB|= ea-a+22+[ea+a-2a-2]2= 2(ea-a+2),
令 g(a)=ea-a+2,
则 g′(a)=ea-1,g(a)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,
所以 g(a)在 a=0 处取得最小值 g(0)=3,
所以 A,B 两点间距离的最小值为 3 2.
二、填空题
7.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实
数 k 的取值范围是________.
解析:因为 f(x)的定义域为(0,+∞),
又 f′(x)=4x-1
x
,由 f′(x)=0,得 x=1
2.
据题意
k-1<1
20).
设 g(x)=ex
x(x>0),则 g′(x)=x-1ex
x2
,
∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为 g(1)=e,
结合 g(x)=ex
x
与 y=k 的图象可知,要满足题意,只需 k≤e.
答案:(-∞,e]
9.(2018·湘中名校联考)已知函数 g(x)=a-x21
e
≤x≤e,e 为自然对数的底数与 h(x)=
n x 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是________.
解析:由题意,知方程 x2-a=2ln x,即-a=2ln x-x2 在
1
e
,e 上有解.
设 f(x)=2ln x-x2,则 f′(x)=2
x
-2x=-2x+1x-1
x .
易知 x∈
1
e
,1 时,f′(x)>0,x∈[1,e]时 f′(x)<0,
所以函数 f(x)在
1
e
,1 上单调递增,在[1,e]上单调递减,
所以 f(x)极大值=f(1)=-1,
又 f(e)=2-e2,f
1
e =-2-1
e2
,f(e)0 时,f(x)在[1,e]上单调递增,
则 f(x)在[1,e]上的最大值为 f(e)=a.
故当 a≥2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 a;
当 a<2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 2.
11.设函数 f(x)=1
2x2-(a+1)x+aln x,a>0.
(1)求函数 f(x)的单调区间;
(2)讨论函数 f(x)的零点个数.
解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
因为 f′(x)=x-(a+1)+a
x
=x2-a+1x+a
x
=x-ax-1
x (x>0),
①当 00,得 01,
所以函数 f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞),单调减区间为(a,1).
②当 a=1 时,f′(x)=x-12
x
≥0 恒成立,
所以函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞),无减区间.
③当 a>1 时,令 f′(x)<0,得 10,得 0a,
所以函数 f(x)的单调增区间为 (0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a).
(2)由(1)可知,①当 00,
所以函数 f(x)有唯一零点.
②当 a=1 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又注意到 f(1)=-3
2<0,f(4)=ln 4>0,所以函数 f(x)有唯一零点.
③当 a>1 时,函数 f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a),
所以 f(x)极大值=f(1)=-1
2
-a<0,f(x)极小值=f(a)=-1
2a2-a+aln a<0,
注意到 f(2a+2)=aln(2a+2)>0,
所以函数 f(x)有唯一零点,综上,函数 f(x)有唯一零点.
12.已知函数 f(x)=ln x+x2-ax(a∈R).
(1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间;
(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1∈(0,1],证明 f(x1)-f(x2)≥-3
4
+ln 2.
解:f′(x)=1
x
+2x-a=2x2-ax+1
x (x>0).
(1)当 a=3 时,f′(x)=2x2-3x+1
x .
令 f′(x)=0,得 x=1
2
或 x=1.
所以当 01 时,f′(x)>0;当1
20 时,
-a- a2
4
3
=-a
2
=c,不符合题意;
当 a<0 时,
-a- a2
4
3
=-a
60,
只需
m-1
2
>0,
Δ=1-m2-4>0,
解得 m>1,
m>3 或 m<-1,
即 m>3.
所以实数 m 的取值范围为(3,+∞).
(2)f′(x)=x2+1-mx+1
x
,
令 f′(x)=0,即 x2+(1-m)x+1=0,
由题知,两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=m-1,
x1x2=1,
又因为 f(x1)-f(x2)=1
2x21+(1-m)x1+ln x1-1
2x22-(1-m)x2-ln x2
=1
2(x21-x22)+(1-m)(x1-x2)+ln x1
x2
=1
2(x21-x22)-(x21-x22)+ln x1
x2
=ln x1
x2
-1
2(x21-x22)=ln x1
x2
-1
2
x21-x22
x1x2 =ln x1
x2
-1
2
x1
x2
-x2
x1 .
令x1
x2
=t,由于 x1
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