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  • 2021-06-16 发布

2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 极值最值两考点利用导数巧推演

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高考达标检测(十三) 极值、最值两考点,利用导数巧推演 一、选择题 1.函数 f(x)=(x2-1)2+2 的极值点是( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=1 或-1 或 0 D.x=0 解析:选 C ∵f(x)=x4-2x2+3, ∴由 f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0, 得 x=0 或 x=1 或 x=-1, 又当 x<-1 时,f′(x)<0,当-10, 当 01 时,f′(x)>0, ∴x=0,1,-1 都是 f(x)的极值点. 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a 在 x=1 处取得极大值 10,则a b 的值为( ) A.-2 3 B.-2 C.-2 或-2 3 D.2 或-2 3 解析:选 A 由题意知,f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=0,f(1)=10, 即 3+2a+b=0, 1+a+b-a2-7a=10, 解得 a=-2, b=1 或 a=-6, b=9, 经检验 a=-6, b=9 满足题意,故a b =-2 3. 3.(2018·浙江瑞安中学月考)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图象如 图所示,则 x21+x 22等于( ) A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.16 3 解析:选 C 由图象可知 f(x)过点(1,0)与(2,0),x1,x2 是函数 f(x)的极值点, 因此 1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得 b=-3,c=2, 所以 f(x)=x3-3x2+2x,所以 f′(x)=3x2-6x+2. x1,x2 是方程 f′(x)=3x2-6x+2=0 的两根, 因此 x1+x2=2,x1x2=2 3 ,所以 x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4-4 3 =8 3. 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的 切线斜率均为-1,有以下命题: ①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于零. 其中正确的命题个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C f′(x)=3x2+2ax+b, 因为函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在 x=±1 处的切线 斜率均为-1, 所以 f′1=3+2a+b=-1, f′-1=3-2a+b=-1, c=0, 解得 a=0, b=4, c=0, 则 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2],故①正确; f′(x)=3x2-4,令 f′(x)=0,解得 x=±2 3 3 ∈[-2,2], 易知,x=±2 3 3 均为函数的极值点,故②错误; 易知函数 f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]是奇函数,所以最大值与最小值之和为 0,故③正 确. 因此,正确命题的个数为 2,故选 C. 5.(2017·长沙二模)已知函数 f(x)= x x2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为 3 3 ,则 a 的值 为( ) A. 3-1 B.3 4 C.4 3 D. 3+1 解析:选 A 由 f(x)= x x2+a ,得 f′(x)= a-x2 x2+a2 , 当 a>1 时,若 x> a,则 f′(x)<0,f(x)单调递减, 若 1<x< a,则 f′(x)>0,f(x)单调递增, 故当 x= a时,函数 f(x)有最大值 1 2 a = 3 3 ,得 a=3 4 <1,不合题意; 当 a=1 时,函数 f(x)在[1,+∞)上单调递减,最大值为 f(1)=1 2 ,不合题意; 当 0<a<1 时,函数 f(x)在 [1,+∞)上单调递减,此时最大值为 f(1)= 1 a+1 = 3 3 ,得 a= 3-1,符合题意.故 a 的值为 3-1,选 A. 6.已知直线 l1:y=x+a 分别与直线 l2:y=2(x+1)及曲线 C:y=x+ln x 交于 A,B 两点,则 A,B 两点间距离的最小值为( ) A.3 5 5 B.3 C.6 5 5 D.3 2 解析:选 D 由 y=x+a, y=2x+1, 得 A(a-2,2a-2), 由 y=x+a, y=x+ln x, 得 B(ea,a+ea), |AB|= ea-a+22+[ea+a-2a-2]2= 2(ea-a+2), 令 g(a)=ea-a+2, 则 g′(a)=ea-1,g(a)在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增, 所以 g(a)在 a=0 处取得最小值 g(0)=3, 所以 A,B 两点间距离的最小值为 3 2. 二、填空题 7.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内存在最小值,则实 数 k 的取值范围是________. 解析:因为 f(x)的定义域为(0,+∞), 又 f′(x)=4x-1 x ,由 f′(x)=0,得 x=1 2. 据题意 k-1<1 20). 设 g(x)=ex x(x>0),则 g′(x)=x-1ex x2 , ∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为 g(1)=e, 结合 g(x)=ex x 与 y=k 的图象可知,要满足题意,只需 k≤e. 答案:(-∞,e] 9.(2018·湘中名校联考)已知函数 g(x)=a-x21 e ≤x≤e,e 为自然对数的底数与 h(x)= n x 的图象上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意,知方程 x2-a=2ln x,即-a=2ln x-x2 在 1 e ,e 上有解. 设 f(x)=2ln x-x2,则 f′(x)=2 x -2x=-2x+1x-1 x . 易知 x∈ 1 e ,1 时,f′(x)>0,x∈[1,e]时 f′(x)<0, 所以函数 f(x)在 1 e ,1 上单调递增,在[1,e]上单调递减, 所以 f(x)极大值=f(1)=-1, 又 f(e)=2-e2,f 1 e =-2-1 e2 ,f(e)0 时,f(x)在[1,e]上单调递增, 则 f(x)在[1,e]上的最大值为 f(e)=a. 故当 a≥2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 a; 当 a<2 时,f(x)在[-1,e]上的最大值为 2. 11.设函数 f(x)=1 2x2-(a+1)x+aln x,a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)讨论函数 f(x)的零点个数. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 因为 f′(x)=x-(a+1)+a x =x2-a+1x+a x =x-ax-1 x (x>0), ①当 00,得 01, 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞),单调减区间为(a,1). ②当 a=1 时,f′(x)=x-12 x ≥0 恒成立, 所以函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞),无减区间. ③当 a>1 时,令 f′(x)<0,得 10,得 0a, 所以函数 f(x)的单调增区间为 (0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a). (2)由(1)可知,①当 00, 所以函数 f(x)有唯一零点. ②当 a=1 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又注意到 f(1)=-3 2<0,f(4)=ln 4>0,所以函数 f(x)有唯一零点. ③当 a>1 时,函数 f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,+∞),单调减区间为(1,a), 所以 f(x)极大值=f(1)=-1 2 -a<0,f(x)极小值=f(a)=-1 2a2-a+aln a<0, 注意到 f(2a+2)=aln(2a+2)>0, 所以函数 f(x)有唯一零点,综上,函数 f(x)有唯一零点. 12.已知函数 f(x)=ln x+x2-ax(a∈R). (1)当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1∈(0,1],证明 f(x1)-f(x2)≥-3 4 +ln 2. 解:f′(x)=1 x +2x-a=2x2-ax+1 x (x>0). (1)当 a=3 时,f′(x)=2x2-3x+1 x . 令 f′(x)=0,得 x=1 2 或 x=1. 所以当 01 时,f′(x)>0;当1 20 时, -a- a2 4 3 =-a 2 =c,不符合题意; 当 a<0 时, -a- a2 4 3 =-a 60, 只需 m-1 2 >0, Δ=1-m2-4>0, 解得 m>1, m>3 或 m<-1, 即 m>3. 所以实数 m 的取值范围为(3,+∞). (2)f′(x)=x2+1-mx+1 x , 令 f′(x)=0,即 x2+(1-m)x+1=0, 由题知,两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=m-1, x1x2=1, 又因为 f(x1)-f(x2)=1 2x21+(1-m)x1+ln x1-1 2x22-(1-m)x2-ln x2 =1 2(x21-x22)+(1-m)(x1-x2)+ln x1 x2 =1 2(x21-x22)-(x21-x22)+ln x1 x2 =ln x1 x2 -1 2(x21-x22)=ln x1 x2 -1 2 x21-x22 x1x2 =ln x1 x2 -1 2 x1 x2 -x2 x1 . 令x1 x2 =t,由于 x1