2019版一轮复习理数通用版高考达标检测 三角函数的1个常考点图象与性质 8页

高考达标检测（十六） 三角函数的 1 个常考点——图象与性质 一、选择题 1．函数 f(x)＝(1－cos 2x)cos2x，x∈R，设 f(x)的最大值是 A，最小正周期为 T，则 f(AT) 的值为( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．0 解析：选 B f(x)＝(1－cos 2x)cos2x＝(1－cos 2x)·1＋cos 2x 2 ＝1－cos22x 2 ＝1－cos 4x 4 ， 则 A＝1 2 ，T＝π 2 ，则 f(AT)＝1－cos π 4 ＝1 2. 2．(2018·广东七校联考)已知函数 y＝sin(2x＋φ)在 x＝π 6 处取得最大值，则函数 y＝ cos(2x＋φ)的图象( ) A．关于点 π 6 ，0 对称 B．关于点 π 3 ，0 对称 C．关于直线 x＝π 6 对称 D．关于直线 x＝π 3 对称 解析：选 A 因为函数 y＝sin(2x＋φ)在 x＝π 6 处取得最大值， 所以 sin π 3 ＋φ ＝1，则φ＝2kπ＋π 6 ，k∈Z， 则 y＝cos 2x＋2kπ＋π 6 ＝cos 2x＋π 6 ， 当 x＝π 6 时，y＝0，故 A 正确． 3．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线 x＝π 6 对称；(3)在 π 6 ，π 3 上是减函数”的是( ) A．y＝sin x 2 ＋5π 12 B．y＝sin 2x－π 3 C．y＝cos 2x＋2π 3 D．y＝sin 2x＋π 6 解析：选 D 易知函数 y＝sin x 2 ＋5π 12 的最小正周期为 4π，故排除 A； 当 x＝π 6 时，y＝sin 2x－π 3 ＝0，故排除 B； 当 x∈ π 6 ，π 3 时，2x＋2π 3 ∈ π，4π 3 ，函数 y＝cos 2x＋2π 3 在 x∈ π，4π 3 上单调递增， 故排除 C； 对于函数 y＝sin 2x＋π 6 ，可知其最小正周期 T＝2π 2 ＝π， 将 x＝π 6 代入得，y＝sin 2×π 6 ＋π 6 ＝1，是最大值， 可知该函数的图象关于直线 x＝π 6 对称， 令π 2 ＋2kπ≤2x＋π 6 ≤3π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 化简整理可得π 6 ＋kπ≤x≤2π 3 ＋kπ(k∈Z)， 可知函数 y＝sin 2x＋π 6 在 π 6 ，π 3 上是减函数，故选 D. 4．若函数 f(x)＝cos ωx＋π 6 (ω>0)在[0，π]内的值域为 －1， 3 2 ，则ω的取值范围是 ( ) A. 3 2 ，5 3 B. 5 6 ，3 2 C. 5 6 ，＋∞ D. 5 6 ，5 3 解析：选 D 因为 0≤x≤π，所以π 6 ≤ωx＋π 6 ≤ωπ＋π 6 ， 又因为函数 f(x)＝cos ωx＋π 6 (ω>0)在[0，π]内的值域为 －1， 3 2 ， 所以π≤ωπ＋π 6 ≤11π 6 ，即5 6 ≤ω≤5 3 ， 则ω的取值范围是 5 6 ，5 3 . 5．已知函数 f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1 A>0，ω>0，0<φ<π 2 的最大值为 3，f(x)的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为 2，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018) ＝( ) A．4 033 B．4 034 C．4 035 D．4 036 解析：选 C ∵函数 f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1＝A·1＋cos2ωx＋2φ 2 ＋1＝A 2cos(2ωx＋2φ) ＋1＋A 2 A>0，ω>0，0<φ<π 2 的最大值为 3，∴A 2 ＋1＋A 2 ＝3，∴A＝2.根据函数图象相邻两条 对称轴间的距离为 2，可得函数的最小正周期为 4，即2π 2ω ＝4，∴ω＝π 4.再根据 f(x)的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)，可得 cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又 0<φ<π 2 ，∴2φ＝π 2 ，φ＝π 4. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝cosπ 2x＋π 2 ＋2＝－sinπ 2x＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018) ＝－sinπ 2 ＋sin2π 2 ＋sin3π 2 ＋…＋sin2 017π 2 ＋sin2 018π 2 ＋2×2 018＝－504×0－sinπ 2 －sin π＋ 4 036＝－1＋4 036＝4 035. 6．(2018·洛阳统考)已知 f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中 a，b∈R，ab≠0.若 f(x)≤|f π 6 |对 一切 x∈R 恒成立，且 f π 2 ＞0，则 f(x)的单调递增区间是( ) A. kπ－π 3 ，kπ＋π 6 (k∈Z) B. kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 (k∈Z) C. kπ，kπ＋π 2 (k∈Z) D. kπ－π 2 ，kπ (k∈Z) 解析：选 B f(x)＝asin 2x＋bcos 2x＝ a2＋b2sin(2x＋φ)，其中 tan φ＝b a. ∵f(x)≤|f π 6 |，∴x＝π 6 是函数 f(x)的图象的一条对称轴， 即π 3 ＋φ＝π 2 ＋kπ(k∈Z)，φ＝π 6 ＋kπ(k∈Z)． 又 f π 2 ＞0，∴φ的取值可以是－5π 6 ， ∴f(x)＝ a2＋b2sin 2x－5π 6 ， 由 2kπ－π 2 ≤2x－5π 6 ≤2kπ＋π 2(k∈Z)， 得 kπ＋π 6 ≤x≤kπ＋2π 3 (k∈Z)，故选 B. 二、填空题 7．函数 f(x)＝ 1＋log1 2 x＋tan x＋π 4 的定义域是________． 解析：依题意得 1＋log1 2 x≥0， x＋π 4 ≠kπ＋π 2 k∈Z. ∴00 时， 2a＋a＋b＝8， b＝5， ∴a＝3 2－3，b＝5. ②当 a<0 时， b＝8， 2a＋a＋b＝5. ∴a＝3－3 2，b＝8. 综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8. 12．(2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]． (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值． 解：(1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b， 所以－ 3cos x＝3sin x. 则 tan x＝－ 3 3 . 又 x∈[0，π]，所以 x＝5π 6 . (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos x＋π 6 . 因为 x∈[0，π]，所以 x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ， 从而－1≤cos x＋π 6 ≤ 3 2 . 于是，当 x＋π 6 ＝π 6 ，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3； 当 x＋π 6 ＝π，即 x＝5π 6 时，f(x)取到最小值－2 3. 1．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π 2 的图象过点 B(0，－1)，且在 π 18 ，π 3 上单 调，同时 f(x)的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合．当 x1，x2∈ －17π 12 ，－2π 3 ， 且 x1≠x2 时，f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( ) A．－ 3 B．－1 C．1 D. 2 解析：选 B 由题意知，2sin φ＝－1，∴sin φ＝－1 2 ， ∵|φ|<π 2 ，∴φ＝－π 6 ，∴f(x)＝2sin ωx－π 6 ， 平移后的函数解析式为 g(x)＝2sin ωx＋π－π 6 ＝2sin ωx＋ωπ－π 6 ， ∴ωπ＝2kπ，k∈Z，∴ω＝2k，k∈Z. 又π 3 － π 18 ≤T 2 ＝π ω ，∴ω≤18 5 ，故ω＝2， ∴f(x)＝2sin 2x－π 6 ，故其图象的对称轴为 x＝kπ 2 ＋π 3 ，k∈Z， 借助题设可知 x1＋x2＝2× －7π 6 ＝－7π 3 ， 从而可求得 f(x1＋x2)＝f －7π 3 ＝－1. 2．已知函数 f(x)＝4cos ωxsin ωx－π 6 (ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数 f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间； (2)求 f(x)在 π 8 ，3π 8 上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ωx－π 6 ＝4cos ωx 3 2 sin ωx－1 2cos ωx ＝2 3sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1 ＝ 3sin 2ωx－cos 2ωx－1 ＝2sin 2ωx－π 6 －1. 且 f(x)的最小正周期是2π 2ω ＝π，所以ω＝1， 从而 f(x)＝2sin 2x－π 6 －1. 令－π 2 ＋2kπ≤2x－π 6 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得－π 6 ＋kπ≤x≤π 3 ＋kπ，k∈Z， 所以函数 f(x)在(0，π)上的单调递增区间为 0，π 3 和 5π 6 ，π . (2)当 x∈ π 8 ，3π 8 时，2x－π 6 ∈ π 12 ，7π 12 ， 所以 2sin 2x－π 6 ∈ 6－ 2 2 ，2 . 所以当 2x－π 6 ＝ π 12 ，即 x＝π 8 时，f(x)取得最小值 6－ 2 2 －1. 当 2x－π 6 ＝π 2 ，即 x＝π 3 时，f(x)取得最大值 1. 故 f(x)在 π 8 ，3π 8 上的最大值和最小值分别为 1， 6－ 2 2 －1.