黑龙江省安达七中2020届高三数学上学期寒假考试试题6 11页

1 黑龙江省安达七中 2020 届高三数学上学期寒假考试试题（6） 一、选择题 1.已知集合 2{ | 3 0}, { | 1 }A x x x B x y x      ，则 A B 为（ ） A. [0,3) B． (1,3) C． (0,1] D． 2.秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是（ ） A．可以减少加法运算次数 B．可以减少乘法运算次数 C．同时减少加法和乘法的运算次数 D．加法次数和乘法次数都有可能减少 3.设 ,x y 满足约束条件 2 0 0 3 x y x y x         ，则 2 2( 1)z x y   的最大值为（ ） A．41 B．5 C．25 D．1 4.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是 1,2,3,4 的四个座位上，他们分别有以下 要求， 甲：我不坐座位号为 1 和 2 的座位； 乙：我不坐座位号为 1 和 4 的座位； 丙：我的要求和乙一样； 丁：如果乙不坐座位号为 2 的座位，我就不坐座位号为 1 的座位. 那么坐在座位号为 3 的座位上的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5.某四棱锥的三视图如图所示，其中 1a b  ，且 a b .若四个侧面的面积中最小的为 1 9 ， 则 a 的值为（ ） 2 A． 1 2 B． 2 3 C． 3 4 D． 5 6 6.将 6 名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作，若济南至少安排 2 人，青岛至少安排 3 人，则不同的安排方法数是( ) A．120 B．150 C．35 D．65 7.已知圆 2 2:( 3) 1C x y   与双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b     的渐近线相切，且圆心 C 恰 好是双曲线 E 的一个焦点，则双曲线 E 的标准方程是（ ） A． 2 2 13 x y  B． 2 2 12 x y  C． 2 2 19 12 x y  D． 2 2 12 yx   8.如图， ,AB CD 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， 3AE EO  ，则 EC ED  的值是( ) A． 4 5  B． 15 16  C． 1 4  D． 5 8  9.将函数 ( ) sinf x x 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移 π 6 个单位长度得到 ( )y g x 的图象，则函数 ( )y g x 的单调递增区间为（ ） A. π 5π[2 π ,2 π ], Z12 12k k k   B. π 5π[2 π ,2 π ], Z6 6k k k   C. π 5π[ π , π ], Z12 12k k k   D. π 5π[ π , π ], Z6 6k k k   10.如图,已知一个八面体的各条棱长为 1,四边形 ABCD 为正方形,下列说法 3 ① 该八面体的体积为 1 3 ; ② 该八面体的外接球的表面积为 2π ; ③ E 到平面 ADF 的距离为 2 2 ; ④ EC 与 BF 所成角为 60 ; 其中不正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 11.已知函数 3 2 2( ) 2 (6 3) 12 16 ( 0)f x x a x ax a a      ，只有一个零点 0x ，且 0 0x  ，则 a 的取值范围为（ ） A． 1( , )2   B． 1( ,0)2  C． 3( , )2   D． 3( ,0)2  二、填空题 12.设随机变量 X 服从正态分布 (3,5)N ，若 ( 2 1) ( 2)P X a P X a     ，则实数 a  ______. 13.已知 π 1tan( )4 3   ，则 cos2 1 sin 2    _______． 14.已知数列{ }na 为等差数列， nS 为数列{ }na 的前 n 项和，若 21 5a  ， 32 7a  ，则 6S 的 取值范围是____. 15.已知 F 是抛物线 2: 8C y x 的焦点，点 (2,6)M ，点 P 是 C 上任意一点，当点 P 在 1P 时， PF PM 取得最大值，当点 P 在 2P 时， PF PM 取得最小值.则 1 2PP  __________． 三、解答题 16.已知函数 2( ) sin 3sin cosf x x x x  (1)求 ( )f x 在[0,π]上的单调递增区间； (2)在 ABC△ 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，A 为锐角，若 π( ) sin(2 ) 16f A A   ， 且 ABC△ 的面积为 2 3 ，求 b c 的最小值. 17.为评估 M 设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件 作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 4 直径/ mm 78 79 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 93 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算，样本的平均值 =85 ，标准差 2.2  ，以频率值作为概率的估计值. （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根 据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的频率）： ① ( ) 0.6826P X        ；② ( 2 2 ) 0.9544P X        ；③ ( 3 3 ) 0.9974P X        ，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为 甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等 级为丁.试判断 M 设备的性能等级. （2）将直径小于等于 2  的零件或直径大于等于 2  的零件认定为是“次品”，将直 径小于等于 3  的零件或直径大于等于 3  的零件认定为是“突变品”，从样本的 “次品”中随意抽取 2 件零件，求“突变品”个数 Y 的数学期望. 18.已知 ,A B 两点在抛物线 2: 4C x y 上，点 (0,4)M 满足 C . （1）若线段 12 2AB  ，求直线 AB 的方程； （2）设抛物线 C 过 ,A B 两点的切线交于点 N．求证：点 N 在一条定直线上． l 19.已知四棱锥 P ABCD 中， PA  底面 , / / , 3, 4, 5ABCD AD BC AB AD BC AC    . （1）当 AP 变化时，点 C 到平面 PAB 的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是， 请说明理由； （2）当直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45时，求二面角 A PD C  的余弦值. 20.已知函数 2( 1) 21 1( ) e e '( )2 2 xf x x f x    5 （1）求 ( )f x 的单调区间； （2）若存在 1 2 1 2, ( )x x x x ，使得 1 2) )( ( 1f x f x  ，求证： 1 2 2x x  ． 21.在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 M 的极坐标方程为 2cos  ，若极坐标系内异于 O 的三点 1 2 π( , ), ( , )6A B     , 3 1 2 3 π( , ),( , , 0)6C       在曲线 M 上. （1）求证： 1 2 33    ； （2）若过 ,B C 两点直线的参数方程为 32 2 ( 1 2 x t t y t      为参数 ) ，求四边形 OBAC 的面积. 22.已知 0, 0, 0a b c   设函数 ( ) , Rf x x b x c a x      （1）若 1a b c   ，求不等式 ( ) 5f x  的解集； （2）若函数 ( )f x 的最小值为 1,证明： 1 4 9 18( )a b ca b b c c a        6 参考答案 1.答案：C 解析： 2.答案：B 解析： 3.答案：A 解析： 4.答案：C 解析： 5.答案：B 解析： 6.答案：C 解析：6 名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作． 若济南至少安排 2 人，青岛至少安排 3 人，分两类， 第一类，青岛安排 3 人，济南安排 3 人，有 3 6C 20 种， 第二类，青岛安排 4 人，济南安排 2 人，有 4 6C 15 种， 根据分类计数原理可得 20 15 25  种． 故选：C． 7.答案：B 解析： 8.答案：B 解析： 9.答案：C 解析： 10.答案：C 解析： 11.答案：A 解析： 12.答案： 5 3 7 解析： 13.答案：3 解析： 14.答案：[3,60] 解析： 15.答案： 5 17 2 解析： 16.答案：(1) 2 1 cos2 sin 2( ) sin 3sin cos 32 2 x xf x x x x      3 1 1 π 1sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 6 2x x x        ， 由 π π 3π2 [2 π ,2 π ]6 2 2x k k    可得： π 2π[ π , π+ ]( Z)6 3x k k k   . 设 π 2π[0,π], [ π , π ]( Z)6 3A B k k k     ， 则 π 2π[ , ]6 3A B  ，故 ( )f x 在[0,π]上的单调递增区间为 π 2π[ , ]6 3 . (2)由 π( ) sin(2 ) 16f A A   可得： π 1 πsin(2 ) sin(2 ) 16 2 6A A      ， 化简可得： 1cos2 2A   ，又 π0 2A  ，解得： π 3A  . 由题意可得： 1 sin 2 32ABCS bc A △ ，解得： 8bc  . 2 4 2b c bc   ，当且仅当b c 时等号成立. 故 b c 的最小值为 4 2 . 解析： 17.答案：（1） ( ) (82.8 87.2) 0.8 0.6826P X P X            ， ( 2 2 ) (80.6 89.4) 0.94 0.9544P X P X            ， ( 3 3 ) (78.4 91.6) 0.98 0.9974P X P X            . 因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙. （2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2， “突变品”个数 Y 的可能取值为 0,1,2 . 2 4 2 6 C 2( 0) C 5P Y    ， 1 1 4 2 2 6 C C 8( 1) C 15P Y    ， 2 2 2 6 C 1( 1) C 15P Y    . 所以 Y 分布列为： 8 Y 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 2 8 1 2( ) 0 1 25 15 15 3E Y        . 解析： 18.答案：（1）设  ,E x y ，则 2x   ． 因为 E 到点 A  2,0 ，与点 B  2,0 的斜率之积为 1 4  ， 所以 12 2 y y x x     ，整理得 C 的方程为   2 2 1 24 x y x    ． （2）当 l 垂直于轴时，l 的方程为 1x  ， 代入 2 2 14 x y  得 31, 2P       ， 31, 2Q      ． 3 3 11, 1,2 2 4OP OQ                     ． 当 l 不垂直于 x 轴时，依题意可设   1 0y k x k   ， 代入 2 2 14 x y  得  2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k     ． 因为  216 1 3 0k    ，设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ． 则 2 1 2 2 8 1 4 kx x k    ， 2 1 2 2 4 4 1 4 kx x k   ．   2 1 2 1 2 1 2 1 21 1OP OQ x x y y x x k x x              2 2 2 1 2 1 21 k x x k x x k       2 4 2 2 2 2 2 4 4 81 1 4 1 4 k kk kk k      2 1 17 4 4 16k    1 4  综上 1 4OP OQ   ，当 l 垂直于 x 轴时等号成立， 故 OP OQ  的最大值是 1 4 ． 解析： 19.答案：（1）由 3, 4, 5AB BC AC   知 2 2 2AB BC AC  ，则 AB BC ， 9 由 PA  面 ABCD ， BC  面 ABCD ，得 PA BC ， 由 PA AB A ， ,PA AB  面 PAB ， 则 BC  面 PAB ， 则点 C 到平面 PAB 的距离为一个定值， 4BC  . （2）由 PA  面 ,ABCD AB 为 PB 在平面 ABCD 上的射影，则 PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，则 45PBA   ，所以 3PA AB  . 由 / / ,AD BC AB BC 得 AB AD ， 故直线 AB AD AP、 、 两两垂直， 因此，以点 A 为坐标原点，以 AB AD AP、 、 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系， 易得 (0,0,3), (0,3,0), (3,4,0)P D C ， 于是 (0, 3,3), (3,1,0)DP DC    ， 设平面 PDC 的法向量为 1 ( , , )n x y z ， 则 1 1 0 0 n DP n DC          ，即 3 3 0 3 0 y z x y       ，取 1x  ， 则 3, 3y z    ，于是 1 (1, 3, 3)n    ； 显然 2 (1,0,0)n  为平面 PAD 的一个法向量， 于是， 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 19cos , 191 ( 3) ( 3) n nn n n n             分析知二面角 A PD C  的余弦值为 19 19  . 解析： 20.答案：（1） 2( 1) 21 1( ) e e '( )2 2 xf x x f x    ． 令 1 2x  ，则 1 1 1'( ) 1 e '( )2 e 2f f   ，解得 1 1'( )2 ef  ． ∴ 2( 1)'( ) e 2 1xf x x   ． 2( 1) 1 1''( ) 2e 2 2(e 1)(e 1)x x xf x        ， ∴ 1x  时，函数 '( )f x 取得极小值即最小值， ∴ ( ) (1) 0f x f    ， 10 ∴函数 ( )f x 在 R 上单调递增． （2）由（1）可得：函数 2( 1) 21( ) e2 xf x x x   在 R 上单调递增． 要证明： 1 2 1 2 1 22 2 ( (2) )x x x x f x f x       ， 又 1 2) )( ( 1f x f x  ，因此 1 2 2 2( (2 1 () )() 2)f x f x f x f x    ， 即 2 2( (2 ) 0) 1f x f x    1 1(1) 1 12 2f     ，则 1 21x x  ． 令 2(1 ) 2 2( 1) 21 1( ) (2 ) ( ) 1 e (2 ) 2 e2 2 x xg x f x f x x x x x             2(1 ) 2( 1) 21 1e e 2 4 2, 12 2 x x x x x       ， (1) 0g  ． 2(1 ) 2( 1)'( ) e e 4 4x xg x x      ， 2(1 ) 2( 1)''( ) 2e 2e 4 0x xg x      ， ∴ '( )g x 在 (1, ) 上单调递增． ∴ '( ) (1) 0g x g  ， ∴ 函数 ( )g x 在 (1, ) 上单调递增． ∴ ( ) (1) 0g x g  ，因此结论 1 2 2x x  成立． 解析： 21.答案：（1）由 1 2 3 π π2cos , 2cos( ), 2cos( )6 6           ， 则 2 3 1 π π2cos( ) 2cos( ) 2 3cos 36 6             ； （2）由曲线 M 的普通方程为： 2 2 2 0x y x   ， 联立直线 BC 的参数方程得： 2 3 0t t  解得 1 20, 3t t  ；平面直角坐标为： 1 3( , ), (2,0)2 2B C 则 2 3 π1, 2, 6      ；又得 1 3p  . 即四边形面积为 1 2 1 3 1 π 1 π 3 3sin sin2 6 2 6 4OBACS       为所求. 解析： 22.答案：（1） 1a b c   ，不等式 ( ) 5f x  ， 即 1 1 4x x    11 当 1x   时，1 1 4 2 1x x x         当 1 1x   时，1 1 4 1 1x x x        当 1x  时， 1 1 4 1 2x x x       解集为 ( 2,2) （2） ( ) ( ) ( )f x x b x c a x c x b a b c a             0, 0, 0a b c   , min( ) 1f x a b c     1 4 9 1 4 9( )( )a b ca b b c c a a b b c c a              1 1 4 9( )( )2 a b b c a ca b b c c a           18 18( )a b c    解析：