高中数学总结：基本初等函数 8页

高中数学知识点总结 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果 , , , 1nx a a R x R n    ，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，a 的 n 次方根用符 号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示；0 的 n 次方根 是 0；负数 a 没有 n 次方根． ②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当 n 为奇数时，a 为任意实数；当 n 为偶数时， 0a  ． ③根式的性质： ( )nn a a ；当 n 为奇数时， n na a ；当 n 为偶数时， ( 0)| | ( 0) n n a aa a a a     ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是： ( 0, , , m n mna a a m n N    且 1)n  ．0 的正分数指数幂等于 0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 1 1( ) ( ) ( 0, , , m m mn n na a m n Na a      且 1)n  ．0 的负分数指数幂没 有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① ( 0, , )r s r sa a a a r s R    ② ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R   ③ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R    【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 ( 0xy a a  且 1)a  叫做指数函数 图象 1a  0 1a  定义域 R 0 1 xay  x y (0,1) O 1y  0 1 xay  x y (0,1) O 1y  值域 (0, ) 过定点 图象过定点 (0,1) ，即当 0x  时， 1y  ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的 变化情况 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x       1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x       a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低． 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若 ( 0, 1)xa N a a  且 ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logax N ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： log ( 0, 1, 0)x ax N a N a a N      ． （2）几个重要的对数恒等式 log 1 0a  ， log 1a a  ， log b a a b ． （3）常用对数与自然对数 常用对数： lg N ，即 10log N ；自然对数： ln N ，即 loge N （其中 2.71828e  …）． （4）对数的运算性质 如果 0, 1, 0, 0a a M N    ，那么 ①加法： log log log ( )a a aM N MN  ②减法： log log loga a a MM N N   ③数乘： log log ( )n a an M M n R  ④ loga Na N ⑤ log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb    ⑥换底公式： loglog ( 0, 1)log b a b NN b ba   且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数 log ( 0ay x a  且 1)a  叫做对数函数 图象 1a  0 1a  定义域 (0, ) 值域 R 过定点 图象过定点 (1,0) ，即当 1x  时， 0y  ． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 (0, ) 上是增函数 在 (0, ) 上是减函数 函数值的 变化情况 log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x        log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x        a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数 ( )y f x 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 ( )y f x 中解出 x ，得式子 ( )x y ．如果对于 y 在 C 中 的任何一个值，通过式子 ( )x y ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 ( )x y 表示 x 是 y 的函数， 函数 ( )x y 叫做函数 ( )y f x 的反函数，记作 1( )x f y ，习惯上改写成 1( )y f x ． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 ( )y f x 中反解出 1( )x f y ； ③将 1( )x f y 改写成 1( )y f x ，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数 ( )y f x 与反函数 1( )y f x 的图象关于直线 y x 对称． ②函数 ( )y f x 的定义域、值域分别是其反函数 1( )y f x 的值域、定义域． ③若 ( , )P a b 在原函数 ( )y f x 的图象上，则 ' ( , )P b a 在反函数 1( )y f x 的图象上． 0 1 x y O (1,0) 1x  logay x 0 1 x y O (1,0) 1x  logay x ④一般地，函数 ( )y f x 要有反函数则它必须为单调函数． 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关 于 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) ． ③单调性：如果 0  ，则幂函数的图象过原点，并且在[0, ) 上为增函数．如果 0  ，则幂函数的图象在 (0, ) 上 为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 q p   （其中 ,p q 互质， p 和 q Z ）， 若 p 为奇数 q 为奇数时，则 q py x 是奇函数，若 p 为奇数 q 为偶数时，则 q py x 是偶函数，若 p 为偶数 q 为奇数时， 则 q py x 是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 , (0, )y x x   ，当 1  时，若 0 1x  ，其图象在直线 y x 下方，若 1x  ，其图象在 直线 y x 上方，当 1  时，若 0 1x  ，其图象在直线 y x 上方，若 1x  ，其图象在直线 y x 下方． 〖补充知识〗二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： 2( ) ( 0)f x ax bx c a    ②顶点式： 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a    ③两根式： 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a    （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 ( )f x 更方便． （3）二次函数图象的性质 ①二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    的图象是一条抛物线，对称轴方程为 ,2 bx a   顶点坐标是 24( , )2 4 b ac b a a  ． ②当 0a  时，抛物线开口向上，函数在 ( , ]2 b a   上递减，在[ , )2 b a   上递增，当 2 bx a   时， 2 min 4( ) 4 ac bf x a  ；当 0a  时，抛物线开口向下，函数在 ( , ]2 b a   上递增，在[ , )2 b a   上递减，当 2 bx a   时， 2 max 4( ) 4 ac bf x a  ． ③二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    当 2 4 0b ac    时，图象与 x 轴有两个交点 1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | |M x M x MM x x a    ． （4）一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且 解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统 地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的两实根为 1 2,x x ，且 1 2x x ．令 2( )f x ax bx c   ，从以下四个方 面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： 2 bx a   ③判别式：  ④端点函数值符号． ①k＜x1≤x2  x y 1x 2x 0a O  a bx 2  0)( kf k x y 1x 2x O  a bx 2  k 0a 0)( kf ②x1≤x2＜k  x y 1x 2x 0a O  a bx 2  k 0)( kf x y 1x 2x O  a bx 2  k 0a 0)( kf ③x1＜k＜x2  af(k)＜0 0)( kf x y 1x 2x 0a O  k x y 1x 2xO  k 0a 0)( kf ④k1＜x1≤x2＜k2  x y 1x 2x 0a O   1k 2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf a bx 2  x y 1x 2xO  0a 1k  2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf a bx 2  ⑤有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜k2  f(k1)f(k2)  0，并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两 种情况是否也符合 x y 1x 2x 0a O   1k 2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf x y 1x 2xO  0a 1k  2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf ⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2  此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    在闭区间[ , ]p q 上的最值 设 ( )f x 在区间[ , ]p q 上的最大值为 M ，最小值为 m ，令 0 1 ( )2x p q  ． （Ⅰ）当 0a  时（开口向上） ①若 2 b pa   ，则 ( )m f p ②若 2 bp qa    ，则 ( )2 bm f a   ③若 2 b qa   ，则 ( )m f q ①若 02 b xa   ，则 ( )M f q ② 02 b xa   ，则 ( )M f p (Ⅱ)当 0a  时(开口向下) ①若 2 b pa   ，则 ( )M f p ②若 2 bp qa    ，则 ( )2 bM f a   ③若 2 b qa   ，则 ( )M f q ①若 02 b xa   ，则 ( )m f q ② 02 b xa   ，则 ( )m f p ． x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x ya O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x