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  • 2021-06-16 发布

高中数学总结:基本初等函数

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高中数学知识点总结 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 , , , 1nx a a R x R n    ,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,a 的 n 次方根用符 号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 n a 表示;0 的 n 次方根 是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当 n 为奇数时,a 为任意实数;当 n 为偶数时, 0a  . ③根式的性质: ( )nn a a ;当 n 为奇数时, n na a ;当 n 为偶数时, ( 0)| | ( 0) n n a aa a a a     . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: ( 0, , , m n mna a a m n N    且 1)n  .0 的正分数指数幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1 1( ) ( ) ( 0, , , m m mn n na a m n Na a      且 1)n  .0 的负分数指数幂没 有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① ( 0, , )r s r sa a a a r s R    ② ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s R   ③ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r R    【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 ( 0xy a a  且 1)a  叫做指数函数 图象 1a  0 1a  定义域 R 0 1 xay  x y (0,1) O 1y  0 1 xay  x y (0,1) O 1y  值域 (0, ) 过定点 图象过定点 (0,1) ,即当 0x  时, 1y  . 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的 变化情况 1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x       1 ( 0) 1 ( 0) 1 ( 0) x x x a x a x a x       a 变化对 图象的影响 在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若 ( 0, 1)xa N a a  且 ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logax N ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: log ( 0, 1, 0)x ax N a N a a N      . (2)几个重要的对数恒等式 log 1 0a  , log 1a a  , log b a a b . (3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 10log N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 2.71828e  …). (4)对数的运算性质 如果 0, 1, 0, 0a a M N    ,那么 ①加法: log log log ( )a a aM N MN  ②减法: log log loga a a MM N N   ③数乘: log log ( )n a an M M n R  ④ loga Na N ⑤ log log ( 0, )b n aa nM M b n Rb    ⑥换底公式: loglog ( 0, 1)log b a b NN b ba   且 【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数 log ( 0ay x a  且 1)a  叫做对数函数 图象 1a  0 1a  定义域 (0, ) 值域 R 过定点 图象过定点 (1,0) ,即当 1x  时, 0y  . 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 (0, ) 上是增函数 在 (0, ) 上是减函数 函数值的 变化情况 log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x        log 0 ( 1) log 0 ( 1) log 0 (0 1) a a a x x x x x x        a 变化对 图象的影响 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高. (6)反函数的概念 设函数 ( )y f x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 ( )y f x 中解出 x ,得式子 ( )x y .如果对于 y 在 C 中 的任何一个值,通过式子 ( )x y , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 ( )x y 表示 x 是 y 的函数, 函数 ( )x y 叫做函数 ( )y f x 的反函数,记作 1( )x f y ,习惯上改写成 1( )y f x . (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ( )y f x 中反解出 1( )x f y ; ③将 1( )x f y 改写成 1( )y f x ,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数 ( )y f x 与反函数 1( )y f x 的图象关于直线 y x 对称. ②函数 ( )y f x 的定义域、值域分别是其反函数 1( )y f x 的值域、定义域. ③若 ( , )P a b 在原函数 ( )y f x 的图象上,则 ' ( , )P b a 在反函数 1( )y f x 的图象上. 0 1 x y O (1,0) 1x  logay x 0 1 x y O (1,0) 1x  logay x ④一般地,函数 ( )y f x 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, 是常数. (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关 于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 0  ,则幂函数的图象过原点,并且在[0, ) 上为增函数.如果 0  ,则幂函数的图象在 (0, ) 上 为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴. ④奇偶性:当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 为偶数时,幂函数为偶函数.当 q p   (其中 ,p q 互质, p 和 q Z ), 若 p 为奇数 q 为奇数时,则 q py x 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 q py x 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时, 则 q py x 是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数 , (0, )y x x   ,当 1  时,若 0 1x  ,其图象在直线 y x 下方,若 1x  ,其图象在 直线 y x 上方,当 1  时,若 0 1x  ,其图象在直线 y x 上方,若 1x  ,其图象在直线 y x 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: 2( ) ( 0)f x ax bx c a    ②顶点式: 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a    ③两根式: 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a    (2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 ( )f x 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    的图象是一条抛物线,对称轴方程为 ,2 bx a   顶点坐标是 24( , )2 4 b ac b a a  . ②当 0a  时,抛物线开口向上,函数在 ( , ]2 b a   上递减,在[ , )2 b a   上递增,当 2 bx a   时, 2 min 4( ) 4 ac bf x a  ;当 0a  时,抛物线开口向下,函数在 ( , ]2 b a   上递增,在[ , )2 b a   上递减,当 2 bx a   时, 2 max 4( ) 4 ac bf x a  . ③二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    当 2 4 0b ac    时,图象与 x 轴有两个交点 1 1 2 2 1 2 1 2( ,0), ( ,0),| | | | | |M x M x MM x x a    . (4)一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且 解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统 地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的两实根为 1 2,x x ,且 1 2x x .令 2( )f x ax bx c   ,从以下四个方 面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: 2 bx a   ③判别式:  ④端点函数值符号. ①k<x1≤x2  x y 1x 2x 0a O  a bx 2  0)( kf k x y 1x 2x O  a bx 2  k 0a 0)( kf ②x1≤x2<k  x y 1x 2x 0a O  a bx 2  k 0)( kf x y 1x 2x O  a bx 2  k 0a 0)( kf ③x1<k<x2  af(k)<0 0)( kf x y 1x 2x 0a O  k x y 1x 2xO  k 0a 0)( kf ④k1<x1≤x2<k2  x y 1x 2x 0a O   1k 2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf a bx 2  x y 1x 2xO  0a 1k  2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf a bx 2  ⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2  f(k1)f(k2)  0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两 种情况是否也符合 x y 1x 2x 0a O   1k 2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf x y 1x 2xO  0a 1k  2k 0)( 1 kf 0)( 2 kf ⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2  此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 2( ) ( 0)f x ax bx c a    在闭区间[ , ]p q 上的最值 设 ( )f x 在区间[ , ]p q 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 0 1 ( )2x p q  . (Ⅰ)当 0a  时(开口向上) ①若 2 b pa   ,则 ( )m f p ②若 2 bp qa    ,则 ( )2 bm f a   ③若 2 b qa   ,则 ( )m f q ①若 02 b xa   ,则 ( )M f q ② 02 b xa   ,则 ( )M f p (Ⅱ)当 0a  时(开口向下) ①若 2 b pa   ,则 ( )M f p ②若 2 bp qa    ,则 ( )2 bM f a   ③若 2 b qa   ,则 ( )M f q ①若 02 b xa   ,则 ( )m f q ② 02 b xa   ,则 ( )m f p . x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x ya O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  x y0a O a bx 2  p q f (p) f (q) ( )2 bf a  0x