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  • 2021-06-16 发布

2021届高考数学一轮总复习课时作业56最值范围证明问题含解析苏教版

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课时作业56 最值、范围、证明问题 ‎1.已知A(0,),B(,1)是椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设O为坐标原点,M为椭圆C上一动点,点P(3,0),线段PM的垂直平分线交y轴于点Q,求|OQ|的最小值.‎ 解:(1)由题意知代入A,B两点坐标,‎ 得=1,+=1,‎ 解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)根据题意知直线PM,QN的斜率均存在且不为0.‎ 设M坐标为(x0,y0),则+=1,即x=6-3y. ①‎ 线段PM的中点N,kPM·kQN=-1,即kQN=,‎ 所以直线lQN:y-=.‎ 令x=0,并结合①式得 yQ=+=+=,‎ ‎|OQ|=|yQ|==+|y0|‎ ‎≥2=,‎ 当且仅当=|y0|,即y0=±时取等号,‎ 所以|OQ|的最小值为.‎ ‎2.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.‎ ‎(1)O为坐标原点,求证:·=-3;‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.‎ 解:(1)证明:依题意得,F(1,0),且直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+1.‎ 联立消去x得y2-4my-4=0‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=‎4m,y1y2=-4.‎ 5‎ x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,‎ 故·=x1x2+y1y2=-3.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 由(1)知2S△AOB=2×|OF||y1-y2|‎ ‎==4,‎ 所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.‎ ‎3.(2020·河南阶段性测试)已知椭圆+=1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是+1,且1,a,‎4c成等比数列.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0),求实数m的取值范围.‎ 解:(1)由已知可得解得 所以椭圆的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意得F(1,0),设直线AB的方程为y=k(x-1).‎ 与椭圆方程联立得消去y可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-2k=.‎ 可得线段AB的中点为N.‎ 当k=0时,直线MN为y轴,此时m=0.‎ 当k≠0时,‎ 直线MN的方程为y+=-,‎ 化简得ky+x-=0.令y=0,得m=.‎ 所以m==∈.‎ 综上所述,m的取值范围为.‎ ‎4.(2020·贵阳市监测考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,·=0,过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设经过点(2,-1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G,H两点,若k1,k2‎ 5‎ 分别是直线MG,MH的斜率,求k1+k2的值.‎ 解:(1)由·=0,得b=c,‎ 将x=c代入+=1中,得y=±,‎ 因为|AB|=,所以=,‎ 又因为a2=b2+c2,所以a=,b=1,‎ 故椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由椭圆C的方程+y2=1与点(2,-1),设直线l的方程为y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1,‎ 将y=kx-2k-1代入+y2=1中,得 ‎(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0,‎ 由题意知Δ=-16k(k+2)>0,得-2b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,且椭圆M的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.‎ 解:(1)易知椭圆M的右焦点为(,0).则c=.‎ 离心率e===,则a=,故b2=a2-c2=3.‎ 所以椭圆M的方程为+=1.‎ ‎(2)由 5‎ 解得或 因此|AB|=.‎ 由题意可设直线CD的方程为y=x+n(-b>0)的离心率为,且椭圆C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,且与圆O:x2+y2=2相交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.‎ 解:(1)由题意得=,所以a2=b2,‎ 所以椭圆的方程为+=1,‎ 将点代入方程得b2=2,即a2=3,‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)可知,椭圆的右焦点为(1,0),‎ ‎①若直线l的斜率不存在,直线l的方程为x=1,‎ 则A,B,E(1,1),F(1,-1),‎ 所以|AB|=,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=.‎ ‎②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以|AB|= 5‎ ‎= ‎=.‎ 因为圆心O(0,0)到直线l的距离d=,‎ 所以|EF|2=4=,‎ 所以|AB|·|EF|2=· ‎==·=.‎ 因为k2∈[0,+∞),所以|AB|·|EF|2∈.‎ 综上,|AB|·|EF|2∈.‎ 5‎