2021届高考数学一轮总复习课时作业56最值范围证明问题含解析苏教版 5页

课时作业56　最值、范围、证明问题 ‎1．已知A(0，)，B(，1)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的两点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，M为椭圆C上一动点，点P(3,0)，线段PM的垂直平分线交y轴于点Q，求|OQ|的最小值．‎ 解：(1)由题意知代入A，B两点坐标，‎ 得＝1，＋＝1，‎ 解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)根据题意知直线PM，QN的斜率均存在且不为0.‎ 设M坐标为(x0，y0)，则＋＝1，即x＝6－3y.　①‎ 线段PM的中点N，kPM·kQN＝－1，即kQN＝，‎ 所以直线lQN：y－＝.‎ 令x＝0，并结合①式得 yQ＝＋＝＋＝，‎ ‎|OQ|＝|yQ|＝＝＋|y0|‎ ‎≥2＝，‎ 当且仅当＝|y0|，即y0＝±时取等号，‎ 所以|OQ|的最小值为.‎ ‎2．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)O为坐标原点，求证：·＝－3；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ 解：(1)证明：依题意得，F(1,0)，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 联立消去x得y2－4my－4＝0‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝‎4m，y1y2＝－4.‎ 5‎ x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，‎ 故·＝x1x2＋y1y2＝－3.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．‎ 由(1)知2S△AOB＝2×|OF||y1－y2|‎ ‎＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎3．(2020·河南阶段性测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,‎4c成等比数列．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由已知可得解得 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．‎ 与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.‎ 可得线段AB的中点为N.‎ 当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.‎ 当k≠0时，‎ 直线MN的方程为y＋＝－，‎ 化简得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.‎ 所以m＝＝∈.‎ 综上所述，m的取值范围为.‎ ‎4．(2020·贵阳市监测考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，·＝0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2‎ 5‎ 分别是直线MG，MH的斜率，求k1＋k2的值．‎ 解：(1)由·＝0，得b＝c，‎ 将x＝c代入＋＝1中，得y＝±，‎ 因为|AB|＝，所以＝，‎ 又因为a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由椭圆C的方程＋y2＝1与点(2，－1)，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即y＝kx－2k－1，‎ 将y＝kx－2k－1代入＋y2＝1中，得 ‎(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0，‎ 由题意知Δ＝－16k(k＋2)>0，得－2b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，且椭圆M的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ 解：(1)易知椭圆M的右焦点为(，0)．则c＝.‎ 离心率e＝＝＝，则a＝，故b2＝a2－c2＝3.‎ 所以椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由 5‎ 解得或 因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n(－b>0)的离心率为，且椭圆C过点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．‎ 解：(1)由题意得＝，所以a2＝b2，‎ 所以椭圆的方程为＋＝1，‎ 将点代入方程得b2＝2，即a2＝3，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1,0)，‎ ‎①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，‎ 则A，B，E(1,1)，F(1，－1)，‎ 所以|AB|＝，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝.‎ ‎②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|AB|＝ 5‎ ‎＝ ‎＝.‎ 因为圆心O(0,0)到直线l的距离d＝，‎ 所以|EF|2＝4＝，‎ 所以|AB|·|EF|2＝· ‎＝＝·＝.‎ 因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈.‎ 综上，|AB|·|EF|2∈.‎ 5‎