【数学】2019届一轮复习苏教版空间立体几何经典精讲学案 4页

第十五讲 空间立体几何经典精讲 题一：一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个等边三角形，俯视图是面积为8π的半圆形，那么这个几何体的体积和表面积分别为_________.‎ 题二：在棱长均为2的直四棱柱 中，．‎ 分别为棱的中点，则四面体的体积为______.‎ 题三：如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD，E、‎ F、H分别是线段PA，PD，AB的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：PC∥平面EFH；‎ ‎(Ⅱ)求证：平面PCD⊥平面AHF.‎ 题四：如图，在四棱锥中，DE//BC，，DE⊥面ACD，点 为线段上的一点，且，‎ AD=CD．‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)线段上是否存在点，使平面 ‎？说明理由．‎ 空间立体几何经典精讲 题一： ‎ 题二：‎ 题三：（Ⅰ）证法一：因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD.‎ 又因为AD∥BC，所以EF∥BC.‎ 因为E，H分别为PA，AB的中点，所以EH∥PB，又因为PB∩BC=B，EF∩EH=E，‎ 所以平面EFH∥平面PBC，‎ 又PC⊂平面PBC，所以PC∥平面EFH.‎ 证法二：连接AC，BD，设交点为O，连接HO，FO，‎ 因为O，H分别是BD，AB的中点，E，F分别是PA，PD的中点，‎ 所以EF∥AD，EF=AD，OH∥AD，OH=AD，‎ 所以OH∥EF，OH=EF，所以点O在平面EFH上，所以证PC∥平面EFH，即证PC∥平面EFOH.‎ 因为O，E分别是AC，AP的中点，‎ 所以EO∥PC，‎ 又因为直线PC平面EFOH，所以PC∥平面EFOH.‎ ‎(Ⅱ)证明：因为AP=AD，点F是PD的中点，所以AF⊥PD.‎ 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB.‎ 因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，‎ 所以AB⊥平面APD，所以AB⊥PD，即AH⊥PD，‎ 又AF⊥PD，AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF，‎ 又PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AHF.‎ 题四：（Ⅰ）证明：因为DE⊥面ACD，AF⊂面ACD，所以DE⊥AF，‎ 又因为AF⊥CD，所以AF⊥面BCDE，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）线段AB上存在点，使平面 ‎．理由如下：‎ 如图，分别取的中点，‎ 则GQ//BC，且GQ=BC，‎ 又因为DE//BC，，‎ 所以GQ//DE且GQ=DE，‎ 因为AD=CD，所以DG⊥AC，‎ 因为DE⊥面ACD，所以DE⊥AC，‎ 所以AC⊥面EDGQ，‎ 即AC⊥平面．‎