【数学】2018届一轮复习北师大版第2讲　平面向量基本定理及坐标表示学案 16页

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 ‎　[学生用书P93]‎ ‎1．平面向量基本定理 ‎(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．‎ ‎(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝．‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．‎ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．‎ ‎(2)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．‎ ‎2．有关平面向量的两类本质 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．‎ ‎1. 已知向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝(　　)‎ A．(－3，4)　　　　　　　　 B．(3，4)‎ C．(3，－4) D．(－3，－4)‎ ‎　A　[解析] 由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，‎ ‎8)，所以b＝(－6，8)＝(－3，4)，故选A.‎ ‎2．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)‎ A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2‎ C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1‎ ‎　D　[解析] 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；‎ 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；‎ 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；‎ 选项D，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．‎ ‎3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7，4)‎ C．(－1，4) D．(1，4)‎ ‎　A　[解析] 法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，‎ 所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.‎ 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，‎ ＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．‎ 故选A.‎ ‎4．(2015·高考江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．‎ ‎[解析] 因为 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ 所以所以所以m－n＝2－5＝－3.‎ ‎[答案] －3‎ ‎5. 已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．‎ ‎[解析] 设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 ‎[答案] (1，5)‎ ‎　平面向量基本定理及其应用[学生用书P94]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)‎ 如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　)‎ A．a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b ‎(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．‎ ‎【解析】　(1)因为＝－＝a－b，又＝3，‎ 所以＝＝(a－b)，‎ 所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.‎ ‎(2)‎ 因为＝＋，‎ 所以3＝2＋，‎ 即2－2＝－，‎ 所以2＝.‎ 即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，‎ 又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.‎ 所以＝－＝λ－ ‎＝λ－＝＋，‎ 又＝t＝t(－)＝t ‎＝－t.‎ 故解得故t的值是.‎ ‎【答案】　(1)B　(2) ‎1．在本例(2)中，试用向量，表示.‎ ‎[解] 因为＝＋，‎ 所以3＝2＋，即2－2＝－，‎ ‎2＝，所以＝，‎ ＝－＝－.‎ ‎2．在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？‎ ‎[解] 由本例(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋ ‎＝＋(1－λ) ‎＝λ＋(1－λ)＝.‎ 因此点M是AQ的中点．‎ 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，‎ 要熟练运用平面几何的一些性质定理． ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b　　　　　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b ‎　D　[解析] 因为在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，‎ 所以＝.‎ 因为O是BE边的中点，‎ 所以＝(＋)＝＋＝a＋b，故选D.‎ ‎2．在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值是________．‎ ‎[解析] 法一：根据题意可知△AFE∽△CFB，所以＝＝，故＝＝＝(－)＝＝－，所以＝＝－2.‎ 法二：如图，＝2，‎ ＝m＋n，‎ 所以＝＋ ‎＝m＋(2n＋1)，‎ 因为F，E，B三点共线，所以m＋2n＋1＝1，所以＝－2.‎ ‎[答案] －2‎ ‎　平面向量的坐标运算[学生用书P94]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.‎ ‎(1)求3a＋b－3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M、N的坐标及向量的坐标．‎ ‎【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．‎ ‎(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ 所以解得 ‎(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，‎ 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．‎ 所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，‎ 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，‎ 所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．　 ‎ ‎(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于(　　)‎ A．(－2，7)　　　　　　　 B．(－6，21)‎ C．(2，－7) D．(6，－21)‎ ‎　B　[解析] ＝3＝3(2－)＝6－3＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．‎ ‎2．已知A(7，1)、B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝________．‎ ‎[解析] 设C(x，y)，‎ 则＝(x－7，y－1)，＝(1－x，4－y)，‎ 因为＝2，所以，解得.‎ 所以C(3，3)．又因为C在直线y＝ax上，‎ 所以3＝a·3，所以a＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎　平面向量共线的坐标表示(高频考点)[学生用书P95]‎ 平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小．‎ 高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)利用两向量共线求参数； ‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标；‎ ‎(3)三点共线问题．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？‎ ‎(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．‎ ‎【解】　(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．‎ 因为ka－b与a＋2b共线，‎ 所以2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ 即2k－4＋5＝0，得k＝－.‎ ‎(2)法一：因为A、B、C三点共线，‎ 所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，‎ 所以，解得m＝.‎ 法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，‎ ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．‎ 因为A、B、C三点共线，‎ 所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，‎ 即2m－3＝0，所以m＝.‎ ‎(1)向量共线的两种表示形式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.　 ‎ ‎(2)两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　利用两向量共线求参数 ‎1．(2017·邯郸一模)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(m a＋n b)∥(a－2b)，则等于(　　)‎ A．2　　　B．－2　　　C．－　　　D. ‎　C　[解析] 由题意得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为(ma＋nb)∥(a－2b)，所以－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，‎ 所以＝－.‎ ‎ 角度二　利用两向量共线的条件求向量坐标 ‎2．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________．‎ ‎[解析] 由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．‎ ‎[答案] (4，7)‎ ‎ 角度三　三点共线问题 ‎3．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)‎ A．－ B. C. D. ‎　A　[解析] ＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(－2k，－2)．‎ 因为A，B，C三点共线，所以，共线，‎ 所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.‎ ‎ [学生用书P95]‎ ‎——忽视平面向量基本定理的条件致误 ‎　已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？‎ ‎【解】　由题设，知＝d－c＝2b－3a，‎ ＝e－c＝(t－3)a＋tb.‎ C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，‎ 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.‎ ‎①若a，b共线，则t可为任意实数；‎ ‎②若a，b不共线，则有 解之得t＝.‎ 综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；‎ a，b不共线时，t＝.‎ ‎　在平面向量基本定理中，一定要注意两个基向量不共线这一条件，本题在利用向量共线的充要条件列出等式后，易漏掉当a，b共线时，t可为任意实数这个解．‎ ‎　已知a，b，c是共起点的向量，a，b不共线，且∃m，n∈R使c＝ma＋‎ nb成立．若a，b，c的终点共线，则必有(　　)‎ A．m＋n＝0　　　　　　　　 B．m－n＝1‎ C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1‎ ‎　C　[解析] 设＝a，＝b，＝c，‎ 因为a，b，c的终点共线，‎ 所以设＝λ，即－＝λ(－)，‎ 所以＝(1－λ)·＋λ，‎ 即c＝(1－λ)a＋λb.‎ 又c＝ma＋nb，‎ 所以所以m＋n＝1，故选C.‎ ‎[学生用书P347(独立成册)]‎ ‎1．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于(　　)‎ A．－a＋b　　　　　　　 B.a－b C．－a－b D．－a＋b ‎　B　[解析] 设c＝λa＋μb，‎ 则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，‎ 所以所以 所以c＝a－b.‎ ‎2．在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎　B　[解析] 因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋ ，所以m＋n＝＋＝.‎ ‎3．已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x＞0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为(　　)‎ A．4 B．8‎ C．0 D．2‎ ‎　A　[解析] a－2b＝，‎ ‎2a＋b＝(16＋x，x＋1)，‎ 由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，‎ 故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，‎ 所以⇒x＝4(x＞0)．‎ ‎4．已知非零不共线向量、，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0‎ ‎　A　[解析] 由＝λ，得－＝λ(－)，‎ 即＝(1＋λ)－λ.‎ 又2＝x＋y，‎ 所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.‎ ‎5.‎ ‎(2017·济南模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5 ‎　B　[解析] 因 为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，‎ 则＝，＝，‎ 经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.‎ ‎6．(2017·龙岩质检)‎ 如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(　　)‎ A．①② B．②④‎ C．①③ D．③⑤‎ ‎　B　[解析] 在ON上取点C使＝2，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊OB，由于＝，所以＋的终点在阴影区域内，排除选项D.故选B.‎ ‎7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．‎ ‎[解析] 因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又因为θ为锐角，所以θ＝.‎ ‎[答案] ‎8．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则ab的最大值为________．‎ ‎[解析] 易知＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)，由A，B，C三点共线知∥，故2(a－1)－(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1.‎ 由基本不等式可得1＝2a＋b≥2，当且仅当2a＝b时等号成立，所以ab≤，‎ 即ab的最大值为.‎ ‎[答案] ‎9．(2017·合肥质检)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cos C，b－c)，向量b＝(cos A，a)且a∥b，则tan A＝________．‎ ‎[解析] a∥b⇒(b－c)cos A－acos C＝0，即bcos A＝ccos A＋acos C，再由正弦定理得sin Bcos A＝sin C·cos A＋cos Csin A⇒sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝，所以sin A＝，tan A＝＝.‎ ‎[答案] ‎10．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.‎ 其中正确命题的个数为________．‎ ‎[解析] ＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；‎ ＝＋＝a＋b，故②正确；‎ ＝(＋)＝(－a＋b)‎ ‎＝－a＋b，故③正确；‎ 所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．所以正确命题为②③④，共3个．‎ ‎[答案] 3‎ ‎11.‎ 如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ ‎[解] 因为＝－＝a－b，‎ ＝＝a－b，‎ 所以＝＋＝a＋b.‎ 因为＝a＋b，‎ 所以＝＋＝＋＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ ‎12．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.‎ ‎(1)求点E，F的坐标；‎ ‎(2)求证：∥.‎ ‎[解] (1)设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则依题意，得＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．‎ 所以＝＝，＝＝，‎ 所以＝(x1，y1)－(－1，0)＝，‎ ＝(x2，y2)－(3，－1)＝.‎ 所以(x1，y1)＝＋(－1，0)＝，‎ ‎(x2，y2)＝＋(3，－1)＝，‎ 所以点E的坐标为，点F的坐标为.‎ ‎(2)证明：由(1)知(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.‎ 所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.‎ 又＝(4，－1)，即4×－(－1)×＝0，‎ 所以∥.‎ ‎13．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ‎　B　[解析] 由＝＋λ，知－＝λ，即＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．‎ ‎14．(2017·太原模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；‎ ‎(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．‎ ‎[解] (1)＝t1＋t2 ‎＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．‎ 当点M在第二或第三象限时，有 故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.‎ ‎(2)证明：当t1＝1时，‎ 由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．‎ 因为＝－＝(4，4)，‎ ＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，且有公共点A，‎ 所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线．‎ ‎15.‎ 如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向 量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1，1)．‎ ‎(1)求||；‎ ‎(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△AOB的面积最小，并求出最小值．‎ ‎[解] (1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.‎ 则||＝1，||＝||＝1，∠ONP＝120°，‎ 所以||＝‎ ＝.‎ ‎(2)设||＝x，||＝y，‎ ＝m＋n(m＋n＝1)，‎ 则＝m＋n＝mxe1＋nye2.‎ 得⇒＋＝1.‎ S△AOB＝||||sin 60°＝xysin 60°＝xy.‎ 因为＋＝1≥，‎ 所以 ≥2，S△AOB＝xy≥，‎ 当且仅当x＝y＝2，即当A(2，0)，B(0，2)时，△AOB面积最小，最小值为.‎