高中数学第二章2-1-3反证法练习新人教B版选修2-2 5页

湖南省新田县第一中学高中数学 第二章 2.1.3 反证法练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．实数 a，b，c 不全为 0 等价于( )． A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 2．下列命题错误的是( )． A．三角形中至少有一个内角不小于 60° B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D．设 a、b∈Z，若 a、b 中至少有一个为奇数，则 a＋b 是奇数 3．设 x，y，z 都是正实数，a＝x＋1 y ，b＝y＋1 z ，c＝z＋1 x ，则 a，b，c 三个数( )． A．至少有一个不大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不小于 2 D．都大于 2 4．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若 a，b 为异面直线，则( )． A．a，b 都与 l 相交 B． a，b 中至少有一条与 l 相交 C．a，b 中至多有一条与 l 相交 D．a，b 都不与 l 相交 5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________． 6．用反证法证明命题“若 a2＋b2＝0，则 a，b 全为 0(a、b 为实数)”，其反设为________． 7．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数． 求证：f(x)＝0 无整数根． 8．已知函数 f(x)＝ x2 2x－2 ，如果数列{an}满足 a1＝4，an＋1＝f(an)， 求证：当 n≥2 时，恒有 an<3 成立． 1．实数 a，b，c 不全为 0 等价于 ( )． A．a，b，c 均不为 0 B．a，b，c 中至多有一个为 0 C．a，b，c 中至少有一个为 0 D．a，b，c 中至少有一个不为 0 解析 不全为 0 即至少有一个不为 0，故选 D. 答案 D 2．下列命题错误的是 ( )． A．三角形中至少有一个内角不小于 60° B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D．设 a、b∈Z，若 a、b 中至少有一个为奇数，则 a＋b 是奇数 解析 a＋b 为奇数⇔a、b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故 D 错误． 答案 D 3．设 x，y，z 都是正实数，a＝x＋1 y ，b＝y＋1 z ，c＝z＋1 x ，则 a，b，c 三个数 ( )． A．至少有一个不大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不小于 2 D．都大于 2 解析 若 a，b，c 都小于 2，则 a＋b＋c<6①， 而 a＋b＋c＝x＋1 x ＋y＋1 y ＋z＋1 z ≥6②， 显然①，②矛盾，所以 C 正确． 答案 C 4．命题“△ABC 中，若 A>B，则 a>b”的结论的否定应该是________． 答案 a≤b 5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________． 答案 至少有两个内角是直角 6．设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是 SB 上一点，求证：AC 与平面 SOB 不垂直． 证明 假设 AC⊥平面 SOB，如图， ∵直线 SO 在平面 SOB 内， ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圆 O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面 SAB. ∴平面 SAB∥底面圆 O. 这显然出现矛盾，所以假设不成立，即 AC 与平面 SOB 不垂直． 综合提高 限时 25 分钟 7．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若 a，b 为异面直线，则 ( )． A．a，b 都与 l 相交 B．a，b 中至少有一条与 l 相交 C．a，b 中至多有一条与 l 相交 D．a，b 都不与 l 相交 解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得 B 是正确选项，故选 B. 答案 B 8．以下各数不能构成等差数列的是 ( )． A．3,4,5 B. 2， 3， 5 C．3,6,9 D. 2， 2， 2 解析 假设 2， 3， 5成等差数列，则 2 3＝ 2＋ 5，即 12＝7＋2 10，此等式不成 立，故 2， 3， 5不成等差数列． 答案 B 9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________． 解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多 有一个”． 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 10．用反证法证明命题“若 a2＋b2＝0，则 a，b 全为 0(a、b 为实数)”，其反设为________． 解析 “a，b 全为 0”即是“a＝0 且 b＝0”，因此它的反设为“a≠0 或 b≠0”． 答案 a，b 不全为 0 11．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求 证：f(x)＝0 无整数根． 证明 设 f(x)＝0 有一个整数根 k，则 ak2＋bk＝－c.① 又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c 均为奇数， ∴a＋b 为偶数，当 k 为偶数时，显然与①式矛盾； 当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1(n∈Z)， 则 ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程 f(x)＝0 无整数根． 12．(创新拓展)已知函数 f(x)＝ x2 2x－2 ，如果数列{an}满足 a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当 n≥2 时，恒有 an<3 成立． 证明 法一(直接证法) 由 an＋1＝f(an)得 an＋1＝ a2 n 2an－2 ， ∴ 1 an＋1 ＝－2 a2 n ＋2 an ＝－2 1 an －1 2 2＋1 2 ≤1 2 ， ∴an＋1<0 或 an＋1≥2； (1)若 an＋1<0，则 an＋1<0<3， ∴结论“当 n≥2 时，恒有 an<3”成立； (2)若 an＋1≥2， 则当 n≥2 时，有 an＋1－an＝ a2 n 2an－2 －an＝ －a2 n＋2an 2 an－1 ＝－an an－2 2 an－1 ≤0， ∴an＋1≤an，即数列{an}在 n≥2 时单调递减； 由 a2＝ a2 1 2a1－2 ＝ 16 8－2 ＝8 3 <3， 可知 an≤a2<3，在 n≥2 时成立． 综上，由(1)、(2)知：当 n≥2 时，恒有 an<3 成立． 法二 (用反证法) 假设 an≥3(n≥2)， 则由已知得 an＋1＝f(an)＝ a2 n 2an－2 ， ∴当 n≥2 时，an＋1 an ＝ an 2an－2 ＝1 2 · 1＋ 1 an－1 ≤1 2 1＋1 2 ＝3 4 <1，(∵an－1≥3－1)， 又易证 an>0，∴当 n≥2 时，an＋12 时，an