高中数学第二章函数2_4_2二次函数的性质问题导学案北师大版必修11 6页

2.4.2 二次函数的性质 问题导学 一、二次函数的对称性和单调性 活动与探究 1 已知函数 f(x)＝－2x2－4x＋c. (1)求该函数图像的对称轴； (2)若 f(－5)＝4，求 f(3)的值． 迁移与应用 若函数 f(x)＝x2＋bx＋c 满足 f(－2)＝f(4)． (1)求 f(x)图像的对称轴； (2)比较 f(－1)与 f(5)的大小． 1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法： (1)利用配方法求二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝－ b 2a . (2)若二次函数 f(x)对任意 x1，x2∈R 都有 f(x1)＝f(x2)，则对称轴为 x＝x1＋x2 2 . (3)若二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x 都有 f(a＋x)＝f(a－x)，则对称轴为 x＝a(a 为常数)． 2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小． (1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小； (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 二、二次函数在某区间上的最值(值域) 活动与探究 2 已知函数 f(x)＝－x2＋kx＋k 在区间[2,4]上具有单调性，求实数 k 的取值范围． 迁移与应用 已知二次函数 f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求 m 的取值范围． (1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向 思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之 间的关系，进而求解参数的取值范围． (2)函数在区间(a，b)上单调与函数的单调区间是(a，b)的含义不同，注意区分．前者 只能说明(a，b)是相应单调区间的一个子集；而后者说明 a，b 就是增减区间的分界点，即 函数在 a，b 两侧具有相反的单调性． 活动与探究 3 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)用 a 表示出函数 f(x)在区间[－5,5]上的最值． 迁移与应用 1．函数 y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________． 2．设 f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数 f(x)的最小值 g(t)的解析式． 求二次函数在某区间上的最值问题，要注意： (1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间； (2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口 向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时， 离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大． 三、二次函数的实际应用问题 活动与探究 4 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为 25 万元，市场调研表明：当销售单价为 29 万元时，平均每周能售出 8 辆，而当销售单价每降低 0.5 万元时，平均每周能多售出 4 辆．如 果设每辆汽车降价 x 万元，每辆汽车的销售利润为 y 万元(每辆车的销售利润＝销售单价－ 进货单价)． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出 x 的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为 z 万元，试写出 z 与 x 之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多 少？ 迁移与应用 某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室， 若可供建造围墙的材料长 30 米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大， 最大面积是__________平方米． 解实际应用问题的方法步骤 当堂检测 1．函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像关于直线 x＝1 对称，则( )． A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 2．函数 y＝x2＋bx＋c 在 x∈[0，＋∞)上是递增的，则( )． A．b≥0 B．b≤0 C．b＞0 D．b＜0 3．函数 f(x)＝－2x2＋4x－1 在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是( )． A．1，－7 B．1，－17 C．－7，－17 D．－7，－16 4．某电子产品的利润 y(元)关于产量 x(件)的函数解析式为 y＝－3x2＋90x，要使利润 获得最大值，则产量应为( )． A．10 件 B．15 件 C．20 件 D．30 件 5．已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)求函数的最小值； (3)已知 f －2 3 ＝1，不计算函数值，求 f(0)； (4)不直接计算函数值，试比较 f －3 4 与 f 15 4 的大小． 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精 华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 上 下 － b 2a － b 2a ，4ac－b2 4a －∞，－ b 2a － b 2a ，＋∞ －∞，－ b 2a － b 2a ，＋∞ 低 － b 2a 4ac－b2 4a 高 － b 2a 4ac－b2 4a 预习交流 1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与 a 有关)和对称 轴(与－ b 2a 有关)． (2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该 闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到． 预习交流 2 提示：直线 x＝a. 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由 f(－5)＝4 求得 c 的值，确定解析式后再计算 f(3)的值，也可直接利用对称性计算． 解：(1)由于 f(x)＝－2x2－4x＋c＝－2(x＋1)2＋c＋2. 所以其图像的对称轴为 x＝－1. (2)方法一：由 f(－5)＝4 可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c＝4， 于是 c＝34，因此 f(x)＝－2x2－4x＋34. 所以 f(3)＝－2×32－4×3＋34＝4. 方法二：由于 f(x)的图像关于 x＝－1 对称， 又－5 和 3 关于 x＝－1 对称， 所以 f(－5)＝f(3)，而 f(－5)＝4，故 f(3)＝4. 迁移与应用 解：(1)由于 f(－2)＝f(4)，而－2 和 4 关于 x＝1 对称，所以 f(x)图像 的对称轴是 x＝1. (2)函数 f(x)＝x2＋bx＋c 图像的开口向上，对称轴为 x＝1，所以离对称轴越近，函数 值越小． 而|－1－1|＝2，|5－1|＝4， 所以 f(－1)＜f(5)． 活动与探究 2 思路分析：首先求出 f(x)的单调区间，要使 f(x)在[2,4]上具有单调性， 须使区间[2,4]为 f(x)单调区间的子集．从而建立不等式求解 k 的取值范围． 解：f(x)＝－x2＋kx＋k＝－ x－k 2 2＋k2＋4k 4 ， f(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线 x＝k 2 . 要使 f(x)在区间[2,4]上具有单调性， 须[2,4]⊆ －∞，k 2 或[2,4]⊆ k 2 ，＋∞ . 即k 2 ≥4 或k 2 ≤2， 解得 k≥8 或 k≤4. 迁移与应用 解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴 x＝－2(m－2) 2 ，函数在区间[2， ＋∞)上是增加的，故－2(m－2) 2 ≤2，解得 m≥0. 活动与探究 3 思路分析：(1) 将 a＝－1 代入 → 配方 → 写最值 (2) 配方 → 写对称轴 → 分类讨论 → 结论 解：(1)当 a＝－1 时， f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1. 因为 1∈[－5,5]， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，且 f(x)min＝f(1)＝1； 当 x＝－5 时，f(x)取得最大值， 且 f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37. (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝－a. 当－a≤－5，即 a≥5 时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以 f(x)max＝f(5)＝27＋10a， f(x)min＝f(－5)＝27－10a. 当－5＜－a≤0，即 0≤a＜5 时，函数图像如图(1)所示． 由图像可得 f(x)min＝f(－a)＝2－a2， f(x)max＝f(5)＝27＋10a. 当 0＜－a＜5，即－5＜a＜0 时，函数图像如图(2)所示，由图像可得 f(x)max＝f(－5) ＝27－10a， f(x)min＝f(－a)＝2－a2. 当－a≥5，即 a≤－5 时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以 f(x)min＝f(5)＝27＋10a， f(x)max＝f(－5)＝27－10a. 迁移与应用 1．10 －2 解析：y＝3(x－1)2－2，该函数的图像如图所示． 从图像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2. 2．解：由 f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，知对称轴为直线 x＝2. 当 t≤2≤t＋1，即 1≤t≤2 时，g(t)＝f(2)＝－8； 当 t＋1＜2，即 t＜1 时，f(x)在[t，t＋1]上是减少的，g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7. 当 t＞2 时，f(x)在[t，t＋1]上是增加的， g(t)＝f(t)＝t2－4t－4. 综上，可得 g(t)＝ t2－2t－7，t<1， －8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2. 活动与探究 4 思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单 价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可 得汽车合适的销售单价． 解：(1)因为 y＝29－25－x， 所以 y＝－x＋4(0≤x≤4)． (2)z＝ 8＋ x 0.5 ×4 y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)． (3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)，故当 x＝1.5 时，zmax ＝50. 所以当销售单价为 29－1.5＝27.5 万元时，每周的销售利润最大，最大利润为 50 万元． 迁移与应用 5 75 解析：设长方形的宽为 x 米，则每个长方形的长为30－3x 2 米，其 中 0＜x＜10. 故所求居室面积 S＝x(30－3x)＝3(10x－x2)＝－3(x－5)2＋75(0＜x＜10)， 所以当 x＝5 时，Smax＝75(平方米)． 即当宽为 5 米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为 75 平方米． 【当堂检测】 1．A 解析：函数 f(x)＝x2＋mx＋1 的图像的对称轴为 x＝－m 2 ，且只有一条对称轴，所 以－m 2 ＝1，即 m＝－2. 2．A 解析：函数 y＝x2＋bx＋c 的对称轴是 x＝－b 2 ；要使该函数在 x∈[0，＋∞)上递 增，须－b 2 ≤0，所以 b≥0. 3．B 解析：由于 f(x)＝－2x2＋4x－1＝－2(x－1)2＋1，图像的对称轴为 x＝1，开口 向下，所以当 x＝1 时，f(x)取最大值 1，当 x＝4 时，f(x)取最小值－17. 4．B 解析：由二次函数解析式 y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675 可知，当 x＝15 时， y 取最大值． 5．解：y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝3 x＋1 3 2＋2 3 . (1)顶点坐标为 －1 3 ，2 3 ，对称轴是直线 x＝－1 3 . (2)当 x＝－1 3 时，ymin＝2 3 . (3)∵函数图像关于直线 x＝－1 3 对称， ∴f －1 3 －x ＝f －1 3 ＋x . ∴f(0)＝f －1 3 ＋1 3 ＝f －1 3 －1 3 ＝f －2 3 ＝1. (4)∵f －3 4 ＝f －1 3 － 5 12 ＝f －1 3 ＋ 5 12 ＝f 1 12 ， 而函数在 －1 3 ，＋∞ 上是增加的， 1 12 ＜15 4 ， ∴f 1 12 ＜f 15 4 ，即 f －3 4 ＜f 15 4 . 或|－3 4 － －1 3 |＜|15 4 － －1 3 |. ∴f －3 4 ＜f 15 4 .