四川省广元市苍溪县实验中学校2020届高三数学下学期适应性考试试题1理 11页

- 1 - 四川省广元市苍溪县实验中学校 2020 届高三数学下学期适应性考试 试题（1）理 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知i 为虚数单位，复数 z 满足  1z i i   ，则复数 z 在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合  2( , ) | 1A x y y x   ，  ( , ) | 2B x y y x  ，则 A B 中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知条件 : 1p a   ，条件 :q 直线 1 0x ay   与直线 2 1 0x a y   平行，则 p 是 q的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条 件 4．函数 21( ) cos2f x x x  的大致图象是 A． B． C． D． 5．已知数列  na 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为 - 2 - A． 1 2  B． 2 C． 1 或 1 2 D．1 或 1 2  6． 5( )(2 )x y x y  的展开式中 3 3x y 的系数为( ) A．－30 B．－40 C．40 D．50 7．已知 A 类产品共两件 1 2,A A ，B 类产品共三件 1 2 3, ,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将 其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件 A 类产品或者检测出 3 件 B 类产品时，检测结束，则第一次检测出 B 类产品，第二次检测出 A 类产品的概率为 A． 1 2 B． 3 5 C． 2 5 D． 3 10 8．设长方体的长、宽、高分别为 2 , ,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．3 a2 B．6 a2 C．12 a2 D．24 a2 9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅 做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有 A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．64 种 10．关于函数   cos sinf x x x  有下述四个结论： ①  f x 是偶函数；②  f x 的最大值为 2 ； ③  f x 在 ,  有3个零点；④  f x 在区间 0, 4      单调递增. 其中所有正确结论的编号是 A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 11．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     ，点  0 0,P x y 是直线 4 0bx ay a   上任意一 点，若圆   2 2 0 0 1x x y y    与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范 - 3 - 围是 A． 1,2 B． 1,4 C． 2, D． 4, 12．已知函数   ln 1f x x  ，   1 22 x g x e   ，若    f m g n 成立，则 m n 的最小值是 A． 1 ln 22  B． 2e C． 1ln 2 2  D． 1 2e  第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知随机变量 服从正态分布  22,N  ，则  2P    ___________. 14．已知实数 x ， y 满足 2 0 5 y x x y x y        ，则 2 yz x   的最大值为______. 15．已知 ( ) | |f x x x ，则满足 (2 1) ( ) 0f x f x   的 x 的取值范围为_______． 16．函数 3 2( ) sin 3cos ,3 2f x x x x            的值域为_________． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17．（12 分）△ ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,且  sin sin sinC B A B   ． (I)求角 A 的大小 （II）若 7a  ,△ ABC 的面积 3 3 2S  ,求△ ABC 的周长． 18．（12 分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行 - 4 - 一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春 节前 7 天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第 x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如 下： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 8 8 10 14 15 17 (I)经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二 乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （II）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取 600 元购物券；抽中“二等奖”可领取 300 元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为 1 6 ， 获得“二等奖”的概率为 1 3 ．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独 立，求此二人所获购物券总金额 X 的分布列及数学期望． 参考公式： 1 22 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆˆa y bx  ， 7 1 364i i i x y   ， 7 2 1 140i i x   ． 19．（12 分）如图在直角 ABC 中， B 为直角， 2AB BC ， E ，F 分别为 AB ， AC 的中 点，将 AEF 沿 EF 折起，使点 A 到达点 D 的位置，连接 BD ， CD ， M 为 CD 的中点． （Ⅰ）证明： MF  面 BCD； （Ⅱ）若 DE BE ，求二面角 E MF C  的余弦值． - 5 - 20．（12 分）已知抛物线  2 1 : 2 0C x py p  和圆  2 2 2 : 1 2C x y   ，倾斜角为 45°的 直线 1l 过抛物线 1C 的焦点，且 1l 与圆 2C 相切． （Ⅰ）求 p 的值； （II）动点 M 在抛物线 1C 的准线上，动点 A 在 1C 上，若 1C 在 A 点处的切线 2l 交 y 轴于点 B ， 设 MN MA MB    ．求证点 N 在定直线上，并求该定直线的方程． 21．（12 分）已知函数     22 2 ln , 2af x ax x g x ax axx       （Ⅰ）若 0,a  讨论  f x 的单调性; （II）当 0a  时,若函数  f x 与  g x 的图象有且仅有一个交点 0 0,x y ,求 0x 的值(其中  x 表示不超过 x 的最大整数,如   0.371 0, 0.37 1. 2.9 2] )     . 参考数据: 2 0.693 , 3 1.099 , 5 1.609, 7 1.946ln ln ln ln    （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程 1 3cos , 2 3sin x t y t       （t 为参数），在极坐标系（与 平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴）中， - 6 - 直线l 的方程为  2 sin 4 m m R       . （Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （II）若圆心 C 到直线l 的距离等于 2，求 m 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 2 1|f x x  ． （Ⅰ）解不等式 ( ) | | 3f x x  ； （II）若对于 x ， y R ，有 1| 3 1| 3x y   ， 1| 2 1| 6y   ，求证： ( 6 7)f x  ． 理科数学参考答案 1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．A - 7 - 13． 1 2 14．10 11 15． 1[ , )3  16． 6 3 3 ,38       17．（I）∵ A B C    ，∴ ( )C A B   ． ∴sin sin( ) sin sin( )C A B B A B     ， ∴sin ·cos cos ·sin sin sin ·cos cos sinA B A B B A B A B    ， ∴ 2cos ·sin sinA B B ，∴ 1cos 2A  ，∴ 3A  ． （II）依题意得： 2 2 2 1 3 3·sin{ 2 2 2 cos ABCS bc A a b c bc A       ∴ 2 2 6{ 13 bc b c    ， ∴ 2 2 2( ) 2 25b c b c bc     ，∴ 5b c  ， ∴ 5 7a b c    ， ∴ ABC 的周长为 5 7 ． 18．（I）依题意：  1 1 2 3 4 5 6 7 47x         ，  1 5 8 8 10 14 15 17 117y         ， 7 2 1 140i i x   ， 7 1 364i i i x y   ， 7 1 7 2 2 1 7 364 7 4 11 2140 7 167 ˆ i ii ii x y xy b x x            ， 11 2 4 3ˆˆa y bx      ， 则 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 2 3y x  ． （II）二人所获购物券总金额 X 的可能取值有 0 、300、600 、900、1200元，它们所对应 的概率分别为：   1 1 10 2 2 4P X     ，   1 1 1300 2 2 3 3P X      ， - 8 -   1 1 1 1 5600 23 3 2 6 18P X        ，   1 1 1900 2 3 6 9P X      ，   1 1 11200 6 6 36P X     ． 所以，总金额 X 的分布列如下表： X 0 300 600 900 1200 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 总金额 X 的数学期望为 1 1 5 1 10 300 600 900 1200 4004 3 18 9 36EX            元． 19．证明：（Ⅰ ）取 DB 中点 N ，连结 MN 、 EN ， ∵ 1 2MN BC    ， 1 2EF BC   ，∴ 四边形 EFMN 是平行四边形， ∵ EF BE ， EF DE ， BE EF E ，∴ EF BDE 平面 ， ∴ EF EN ，∴ MF MN ，在 DFC 中， DF FC ， 又∵ M 为 CD 的中点，∴ MF CD ， 又∵ MF MN M ，∴ MF BCD 平面 ． 解：（Ⅱ）∵ DE BE ， DE EF ， BE EF E ， ∴ DE BEF 平面 ， 以 E 为原点， BE 、 EF 、 ED 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系， 设 2BC  ，则  0 0 0E ，， ，  010F ，， ，  2 2 0C  ，， ，  111M  ，， ， ∴  0,1,0EF  ，  1,0,1FM   ，  2, 1,0CF   ， - 9 - 设面 EMF 的法向量  , ,m x y z ，则 0 0 m EF y m FM x z             ，取 1x  ，得  1,0,1m  ， 同理，得平面 CMF 的法向量  1,2,1n  ，设二面角 E MF C  的平面角为 ， 则 3cos 3 m n m n         ，∴ 二面角 E MF C  的余弦值为 3 3 ． 20．解：（1）依题意设直线 1l 的方程为 2 py x  ， 由已知得：圆 2 2 2 :( 1) 2C x y   的圆心 2 ( 1,0)C  ，半径 2r  ，因为直线 1l 与圆 2C 相切， 所以圆心到直线 1 : 2 pl y x  的距离 2 2 1 2 2 1 ( 1) p d       ，即 1 2 2 2 p   ，解得 6p = 或 2p   （舍去）． 所以 6p = ； （2）依题意设 ( , 3)M m  ，由（1）知抛物线 1C 方程为 2 12x y ， 所以 2 12 xy  ，所以 6 xy  ，设 1 1( , )A x y ，则以 A 为切点的切线 2l 的斜率为 1 6 xk  ， 所以切线 2l 的方程为 1 1 1 1 ( )6y x x x y   ． 令 0x  ， 2 1 1 1 1 1 1 1 126 6y x y y y y         ，即 2l 交 y 轴于 B 点坐标为 1(0, )y ， 所以 1 1( , 3)MA x m y   ， 1( , 3)MB m y    ，   1 2 ,6MN MA MB x m      ， 1( ,3)ON OM MN x m      ．设 N 点坐标为 ( , )x y ，则 3y  ， 所以点 N 在定直线 3y  上． - 10 - 21．解：（1）   2 2 2 2 1 2 2' 2a ax x af x ax x x       对于函数   22 2 ,h x ax x a   21 16 0a    当 0a  时，则   1' 0,f x x     f x 在 0,  单调递减； 当 0a  时，令   0f x  ，则 22 2 0ax x a   ，解得 21 1 160 4 ax a      f x 在 21 1 160, 4 a a       单调递减； 令   0f x  ，解得 21 1 16 4 ax a   ，所以  f x 在 21 1 16 ,4 a a        单调递增． （2） 0a  且两函数有且仅有一个交点  0 0,x y ，则方程 22 2 ln 2a ax x ax axx      即方程 2 2 ln 0aax xx    在 0,  只有一个根 令   2 2 lnaF x ax xx    ，则   3 2 2 2' ax x aF x x   令    32 2 , 0,x ax x a x      ，则   2' 6 1x ax    0,a x  在 10, 6a       单调递减，在 1 ,6a      上单调递增，故  min 1 6x a         注意到    0 2 0,a x     在 10, 6a       无零点，在 1 ,6a      仅有一个变号的零点 m  F x 在 0.m 单调递减，在 ,m  单调递增，注意到  1 3 0F a  根据题意 m 为  F x 的唯一零点即 0m x - 11 - 2 0 0 0 3 0 0 2 ln 0 2 2 0 aax xx ax x a         消去 a ，得： 3 0 0 3 3 0 0 2 32ln 11 1 xx x x     令   3 32ln 1 1H x x x     ，可知函数  H x 在  1, 上单调递增   10 102 2ln 2 2 0.693 07 7H       ，   29 293 2ln3 2 1.009 026 26H          0 02,3 , 2x x    22．（Ⅰ）消去参数t ，得到圆 C 的普通方程为    2 21 2 9x y    . 由 π2 sin 4 m      ，得 sin cos 0m      .所以直线 l 的直角坐标方程为 0x y m   . （Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于 2，即  1 2 2 2 m    ，解得 3 2 2m    . 23．（1）由 ( ) | | 3f x x  得| 2 1| | | 3x x   ， 则 1 2 2 1 3 x x x       ， 或 10 2 1 2 3 x x x        ， 或 0 1 2 3. x x x       ， 解得 1 42 x  ，或 10 2x  ，或 2 0x   ，即 2 4x   ， 所以不等式 ( ) | | 1f x x  的解集为{ | 2 4}x x   . （2）证明：由 1| 3 1| 3x y   ， 1| 2 1| 6y   ， 所以 2 1 7( ) | 2 1| | 2( 3 1) 3(2 1) | 2 | 3 1| 3| 2 1| 3 2 6f x x x y y x y y               .