【数学】2018届一轮复习北师大版第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数教案 14页

第六节　对数与对数函数 ☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆ 考纲要求 真题举例 命题角度 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化 成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象 通过的特殊点； 3.知道对数函数是一类重要的函数模型； 4.了解指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数(a>0，且 a≠1)。 2016，全国卷Ⅰ，8,5 分(对数函数 的性质) 2016，浙江卷，12,6 分(对数函数的 运算) 2015，全国卷Ⅰ，13,5 分(对数函数 的性质) 2015，全国卷Ⅱ，5,5 分(对数运算) 较少直接考查(若考 查，则幂和对数的大 小比较是热点)，间接 考查主要体现在导数 应用中。 微知识　小题练 自|主|排|查 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax＝N(a＞0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫 做对数的底数，N 叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a＞0，且 a≠1)　 logaN 常用对数 底数为 10　 lgN 自然对数 底数为 e　 lnN 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN＝N； ②logaaN＝N(a＞0，且 a≠1)。 (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ logaN logab(a，b 均大于零，且不等于 1)； ②logab＝ 1 logba，推广 logab·logbc·logcd＝logad。 (3)对数的运算法则 如果 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga M N＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝ n mlogaM。 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图 象 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0 (4)当 x＞1 时，y＞0； 当 0＜x＜1 时，y＜0 (4)当 x＞1 时，y＜0； 当 0＜x＜1 时，y＞0 性 质 (5)是(0，＋∞)上的增函数 (5)是(0，＋∞)上的减函数 (6)y＝logax 的图象与 y＝log 1 ax(a＞0 且 a≠1)的图象关于 x 轴对称 4．y＝ax 与 y＝logax(a＞0，a≠1)的关系 指数函数 y＝ax 与对数函数 y＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称。 微点提醒 1．换底公式的两个重要结论 ①logab＝ 1 logba；②logambn＝ n mlogab。 其中 a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1，m，n∈R。 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。 故 00，a≠1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是________。 【答案】　(1,0) 4．已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是________(填序号)。 【答案】　② 5．(2017·大连模拟)不等式 log 1 2(2x＋1)>log 1 2(3－x)的解集为________。 【解析】　由题意Error!⇒Error!⇒－ 1 20，y>0,2x－3y>0，∴ x y＝ 9 4，∴log 3 2 x y＝2。 【答案】　(1)A　(2)2　(3)2 反思归纳　对数运算的一般思路 1．首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 然后正用对数运算性质化简合并。 2．将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同 底对数真数的积、商、幂的运算。 【 变 式 训 练 】 　 (1)(2016· 大 连 模 拟 ) 计 算 ： log252－4log25＋4＋ log2 1 5＝ ________。 (2)若正数 a，b 满足 3＋log2a＝2＋log3b＝log6(a＋b)，则 1 a＋ 1 b的值为________。 【解析】　(1)原式＝|log25－2|＋log25－1＝log25－2－log25＝－2。 (2)根据题意设 3＋log2a＝2＋log3b ＝log6(a＋b)＝k， 所以有 a＝2k－3，b＝3k－2，a＋b＝6k， 1 a＋ 1 b＝ a＋b ab ＝ 6k 2k－3·3k－2＝ 2k·3k 2k－3·3k－2＝23×32＝72。 【答案】　(1)－2　(2)72 考点二 对数函数的图象及应用……母题发散 【典例 2】　(1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　) (2)当 01 时不满足条件，当 0 2 2 ，所以 a 的取值范围为( 2 2 ，1)。故选 B。 【答案】　(1)C　(2)B 【母题变式】　若本典例(2)变为：若不等式 x2－logax<0 对 x∈ (0， 1 2 )恒成立，求实数 a 的取值范围。 【解析】　由 x2－logax<0 得 x21 时，显然不成立； 当 0b>1,0b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>c>b 【解析】　(1)解法一：由 a>b>1,0bc，A 错； ∵0ac－1，又 ab>0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即 abc>bac，B 错； 易知 y＝logcx 是减函数，∴0>logcb>logca， ∴logbc－log ac>0，又 a>b>1>0，∴－ alogbc>－ blogac>0，∴ alogbcb>a，故选 B。 【答案】　(1)C　(2)B 角度二：对数不等式的有关问题 【典例 4】　(1)(2016·浙江高考)已知 a，b>0，且 a≠1，b≠1。若 logab>1，则(　　) A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0 (2)设函数 f(x)＝log 1 2(x2＋1)＋ 8 3x2＋1，则不等式 f(log2x)＋ f(log 1 2x)≥2 的解集为 (　　) A．(0,2] B.[1 2，2 ] C．[2，＋∞) D.(0， 1 2 ]∪[2，＋∞) 【解析】　(1)根据题意，logab>1⇔logab－logaa>0⇔loga b a>0⇔ Error!或Error!，即Error!或Error!。当Error!时， 0a>1，∴b－1>0，b－a>0。 ∴(b－1)(b－a)>0。故选 D。 (2)∵f(x)的定义域为 R，f(－x)＝log 1 2(x2＋1)＋ 8 3x2＋1＝f(x)，∴f(x)为 R 上的偶函数。 易知其在区间[0，＋∞)上单调递减。 令 t＝log2x，所以 log 1 2x＝－t， 则不等式 f(log2x)＋f(log 1 2x)≥2 可化为 f(t)＋f(－t)≥2， 即 2f(t)≥2，所以 f(t)≥1， 又∵f(1)＝log 1 22＋ 8 3＋1＝1，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，在 R 上为偶函数， ∴－1≤t≤1，即 log2x∈[－1,1]， ∴x∈[1 2，2 ]。故选 B。 【答案】　(1)D　(2)B 角度三：对数性质的综合应用 【典例 5】　关于函数 f(x)＝lg x2＋1 |x| (x≠0)，有下列结论： ①其图象关于 y 轴对称； ②当 x>0 时，f(x)是增函数；当 x<0 时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是 lg2； ④f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数。 其中所有正确结论的序号是________。 【解析】　因为函数 f(－x)＝lg －x2＋1 |－x| ＝lg x2＋1 |x| ＝f(x)，所以函数为偶函数，即图 象关于 y 轴对称，故①正确。因函数 y＝x＋ 1 x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数 y＝|x|＋ 1 |x|在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增， 从而函数 f(x)在区间(－1,0)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－1)和(0,1)上是减函 数，故②错，④正确。③因为 x2＋1 |x| ＝|x|＋ 1 |x|≥2 |x|· 1 |x|＝2，所以 f(x)≥lg2，即最小 值为 lg2，故③正确。 【答案】　①③④ 反思归纳　在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数 函数的单调性来求解。在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及 真数必须为正的限制条件。 微考场　新提升 1．(2017·咸宁模拟)已知函数 f(x)＝sinx＋1，则 f(lg2)＋f(lg 1 2 )＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　解法一：f(lg2)＋f(lg 1 2 ) ＝sin(lg2)＋1＋sin(－lg2)＋1 ＝sin(lg2)－sin(lg2)＋2＝2。故选 D。 解法二：令 h(x)＝f(x)－1＝sinx， ∴h(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－h(x)， ∴h(x)是奇函数， ∴h(lg2)＋h(lg 1 2 ) ＝h(lg2)＋h(－lg2)＝0， ∴f(lg2)＋f(lg 1 2 )－2＝0， 即 f(lg2)＋f(lg 1 2 )＝2。故选 D。 答案　D 2．设 a＝log54，b＝log53，c＝log45，则 a，b，c 的大小关系为(　　) A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 解析　因为 y＝log5x 在定义域内是单调递增函数，所以 b＜a。又 log54＜1＜log45，所 以 a＜c，即 b＜a＜c。故选 B。 答案　B 3．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2|x－m|－1(m 为实数)为偶函数。记 a＝f(log0.53)，b＝ f(log25)，c＝f(2m)，则 a，b，c 的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 解析　由 f(x)＝2|x－m|－1 是偶函数得 m＝0，则 f(x)＝2|x|－1。当 x∈[0，＋∞)时，f(x) ＝2x－1 递增，又 a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且 0＜log23＜log25， 则 f(0)＜f(log23)＜f(log25)，即 c＜a＜b。故选 B。 答案　B 4．函数 y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________。 解析　作出函数 y＝log2x 的图象，将其关于 y 轴对称得到函数 y＝log2|x|的图象，再将 图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)。由图知，函数 y＝ log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)。 答案　(－∞，－1)　(－1，＋∞) 5．已知 a>0，b>0，ab＝8，则当 a 的值为__________时，log2a·log2(2b)取得最大值。 解析　由于 a>0，b>0，ab＝8，所以 a＝ 8 b，所以 log2a·log2(2b)＝log2 8 b·log2(2b)＝(3 －log2b)·(1＋log2b)＝－(log2b)2＋2log2b＋3＝－(log2b－1)2＋4，当 b＝2 时，有最大值 4，此时 a＝4。 答案　4 微专题　巧突破 幂、指数、对数比较大小的几种技巧 幂、指数、对数比较大小，其实质是考查函数的性质，所以解决这类问题首先要熟悉函 数图象和性质，做到“胸有成图”。解决这类问题首先要区分这些数属于哪类函数，是哪个函 数的函数值，然后根据函数的性质确定范围，在同一范围内的两个数再比较大小。下面以函 数类型来划分几种题型，有助于提高解题能力。 一、直接考查单一函数 【典例 1】　已知 0n>1。故选 A。 【答案】　A 【变式训练 1】　已知实数 a，b 满足不等式 log2a 1 4，所以 y21,01,0c。故选 C。 【答案】　C 三、以三种函数为背景 【典例 3】　设 a，b，c 均为正数，且 2a＝log 1 2a，(1 2 )b＝log 1 2b，(1 2 )c＝log2c， 则(　　) A．a1，即 log 1 2a>1，解得 00， a－c＝ ln2 2 － ln5 5 ＝ 5ln2－2ln5 10 >0， 所以 b>a>c。 解法二：数形结合法 变形 a＝ ln2 2 ＝ ln2－0 2－0 ，则 a 表示函数 y＝lnx 图象上的点(2，ln2)与点(0,0)连线的斜率。 同理，b＝ ln3 3 ＝ ln3－0 3－0 ，c＝ ln5 5 ＝ ln5－0 5－0 分别表示点(3，ln3)，点(5，ln5)与点(0,0)的连线 斜率。作出函数 y＝lnx 的图象，标出相应点的位置，观察可知 b>a>c。 解法三：构造函数法 令 y＝ lnx x ，y′＝ 1－lnx x2 ，令 y′＝ 1－lnx x2 ＝0，得 x＝e，所以函数在 x∈(0，e)上单调 递增，在 x∈(e，＋∞)上单调递减，函数在 x＝e 处取得极大值，再作差比较 a 与 c 的大小， 易知 b>a>c。 【答案】　b>a>c