【数学】2018届一轮复习北师大版导数教案 14页

第九讲 导数 项目 内容 课题 导数（共 6 课时）‎ 修改与创新 教学目标 ‎1．导数及其应用 ‎（1）导数概念及其几何意义 ‎① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；‎ ‎②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。‎ ‎（2）导数的运算 ‎① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；‎ ‎② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；‎ ‎③ 会使用导数公式表。‎ ‎（3）导数在研究函数中的应用 ‎① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；‎ ‎② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。‎ ‎（4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。‎ 导数知识是高考重点之一。需细致全面复习。‎ 命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2017年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：‎ ‎（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；‎ ‎（2）2017年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。‎ 教学准备 多媒体课件 教学过程 一．知识梳理：‎ ‎1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。‎ ‎ 如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。‎ 即f（x）==。‎ 说明：‎ ‎（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。‎ ‎（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。‎ ‎ 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：‎ ‎（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；‎ ‎（2）求平均变化率=；‎ 利用导数的几何意义求直线方程是高频考题，需让学生理解、把握。‎ ‎（3）取极限，得导数f’(x)=。‎ ‎2．导数的几何意义 ‎ 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））　　处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。‎ ‎3．常见函数的导出公式．‎ ‎　（１）（C为常数）　　　　（２）‎ ‎　（３）　　　　　　　（４）‎ ‎4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，‎ 即： (‎ 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：‎ 若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ‎ 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。‎ ‎5．导数的应用 ‎（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；‎ ‎（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；‎ ‎（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值； ②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ ‎ ‎ ‎ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。‎ 二．典例分析 考点一：导数的概念 例1．已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。‎ 解析：（1）指时间改变量；‎ ‎　　　　指时间改变量。‎ ‎　　　　。‎ 其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。‎ ‎（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，‎ V==‎ ‎=（6+=‎3g=29.4(米/秒)。‎ 例2．求函数y=的导数。‎ 解析：，‎ ‎，‎ ‎=-。‎ 点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。‎ 考点二：导数的基本运算 例3．（1）求的导数；‎ 本题通过平均速度和瞬时速度以让学生回顾、把握导数的引进。‎ ‎（2）求的导数；‎ ‎（3）求的导数；‎ ‎（4）求y=的导数；‎ ‎（5）求y＝的导数。‎ 解析：（1）,‎ ‎（2）先化简,‎ ‎（3）先使用三角公式进行化简.‎ ‎（4）y’==；‎ ‎（5）y＝－x＋５－‎ y’＝３*（x）＇－x＇＋５＇－９）＇＝３*－１＋０－９*（－）＝。‎ 点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。‎ 考点三：导数的几何意义 例4．（1）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 解析：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A；‎ ‎（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确，选D。‎ 点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。‎ 考点四：借助导数处理单调性、极值和最值 例5．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ）‎ A．f（0）＋f（2）<‎2f（1） B. f（0）＋f（2）£‎2f（1） ‎ C．f（0）＋f（2）³‎2f（1） D. f（0）＋f（2）>‎2f（1）‎ ‎（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 ‎（3）已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。‎ 解析：（1）依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C；‎ ‎（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。‎ ‎（3）：(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax。‎ 对基本的求导问题，学生能很好掌握，但对需要适当处理的函数，学生还有一点困难，还要再增加一点带有一定变换的题目让学生巩固。‎ ‎(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数；‎ ‎(ⅱ)当00, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.；‎ ‎(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= ；‎ 当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: ‎ x ‎(－∞, －)‎ ‎(－,)‎ ‎(,1)‎ ‎(1,+∞)‎ f '(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↗‎ f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数。‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当0f(0)=1；‎ ‎(ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e－ax≥1，‎ 得：f(x)= e－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。‎ 点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。‎ 例6．（1）在区间上的最大值是（ ）‎ ‎(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4‎ ‎（2）设函数f(x)= （Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。‎ 解析：（1），令可得x＝0或2（2舍去），当－1£x<0时，>0，当0