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- 2021-06-16 发布
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第一章 集合与常用逻辑用语
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[五年考情]
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
集合的概念及其运算
全国卷Ⅰ·T1
全国卷Ⅱ·T2
全国卷Ⅱ·T1
全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T1
全国卷Ⅰ·T1全国卷Ⅱ·T1
全国卷·T1
四种命题及其关系,充分条件与必要条件
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含逻辑联结词的命题的真假判断,全称命题、特称命题的否定
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全国卷Ⅰ·T3
全国卷Ⅰ·T9
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[重点关注]
综合近5年全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律:
1.从考查题型看:一般是一个选择题,个别年份是两个选择题,从考查分值看,在5分左右,题目注重基础,属容易题.
2.从考查知识点看:主要考查集合的关系及其运算,有时综合考查一元二次不等式的解法,突出对数形结合思想的考查,对常用逻辑用语考查较少,有时会命制一道小题.
3.从命题思路看:
(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查.
(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相结合考查.
(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查.
(4)通过对近5年全国卷高考试题分析,可以预测,在2018年,本章内容考查的重点是:①集合的关系及其基本运算;②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断;③充分条件,必要条件的判断.
[导学心语]
根据近5年的全国卷高考命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面:
1.全面系统复习,深刻理解知识本质
(1)重视对集合相关概念的理解,深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念,弄清集合元素的特征及其表示方法.
(2)重视充分条件、必要条件的判断,弄清四种命题的关系.
(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断,掌握特称命题、全称命题否定的含义.
2.熟练掌握解决以下问题的方法和规律
(1)子集的个数及判定问题.
(2)集合的运算问题.
(3)充分条件、必要条件的判断问题.
(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题.
(5)特称命题、全称命题的否定问题.
3.重视数学思想方法的应用
(1)数形结合思想:解决有关集合的运算问题时,可利用Venn图或数轴更直观地求解.
(2)转化与化归思想:通过运用原命题和其逆否命题的等价性,进行恰当转化,巧妙判断命题的真假.
第一节 集 合
[考纲传真]
1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
1.集合的基本概念
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:若A⊆B,并且A≠B,则AB或BA.
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
[解析] (1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)错误.当x=1时,不满足互异性.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是( )
【导学号:57962000】
A.{a}⊆A B.a⊆A C.{a}∈A D.a∉A
D [由题意知A={0,1,2,3},由a=2,知a∉A.]
3.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A. B.
C. D.
D [∵x2-4x+3<0,∴1<x<3,∴A={x|1<x<3}.
∵2x-3>0,∴x>,∴B=.
∴A∩B={x|1<x<3}∩=.故选D.]
4.(2016·全国卷Ⅲ)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=( )
A.{4,8} B.{0,2,6}
C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10}
C [∵集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},
∴∁AB={0,2,6,10}.]
5.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=________.
{x|-3<x≤-1} [由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}.
∵B={x|-1<x≤5},∴∁RB={x|x≤-1或x>5},
∴A∩(∁RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}.]
集合的基本概念
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A. B. C.0 D.0或
(1)C (2)D [(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,
所以a的取值为0或.]
[规律方法]
1.研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性;特别地,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性,如题(1).
2.由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想,如题(2).
[变式训练1] 已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
【导学号:57962001】
[∵A=∅,∴方程ax2+3x-2=0无实根,
当a=0时,x=不合题意;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<-.]
集合间的基本关系
(1)已知集合A={x|y=,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.AB B.BA
C.A⊆B D.B=A
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
(1)B (2)(-∞,4] [(1)易知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},
因此BA.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<m≤4.
综上,m的取值范围为m≤4.]
[规律方法] 1.B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、韦恩(Venn)图化抽象为直观进行求解.
[变式训练2] (1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合A={x|x>0},且B⊆A,则集合B可能是( )
【导学号:57962002】
A.{1,2} B.{x|x≤1}
C.{-1,0,1} D.R
(2)(2017·石家庄质检)已知集合A={x|x2-2 016x-2 017≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是________.
(1)A (2)(2 016,+∞) [(1)因为A={x|x>0},且B⊆A,再根据选项A,B,C,D可知选项A正确.
(2)由x2-2 016x-2 017≤0,得A=[-1,2 017],
又B={x|x<m+1},且A⊆B,
所以m+1>2 017,则m>2 016.]
集合的基本运算
☞角度1 求集合的交集或并集
(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
(2)(2017·郑州调研)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( )
A.[0,1] B.(0,1]
C.[0,1) D.(-∞,1]
(1)D (2)A [(1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.
(2)M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0