【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第7章第5节综合法、分析法、反证法、数学归纳法学案 11页

第五节　综合法、分析法、反证法、数学归纳法 ‎[最新考纲]　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎1．综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 →‎ →…→‎ →→…→ 文字 语言 因为……所以……或由……得……‎ 要证……只需证……即证……‎ ‎2．反证法 ‎(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．‎ ‎(2)反证法的证题步骤：‎ ‎①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．‎ ‎3．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；‎ ‎(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)‎ ‎(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aQ B．P＝Q C．PQ，只需P2>Q2，即‎2a＋13＋2>‎2a＋13＋2，只需a2＋‎13a＋42>a2＋‎13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立．故选A.]‎ ‎4．已知数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.‎ ‎3　4　5　n＋1　[易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.]‎ 考点1　综合法的应用 ‎　掌握综合法证明问题的思路 综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．‎ ‎　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.‎ 证明：(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ ‎[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac，‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，‎ 即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为a，b，c均为正数，‎ ＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.‎ ‎[母题探究]　本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥.‎ ‎[证明]　因为a＋b＋c＝1，‎ 所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋‎2ac，‎ 因为2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,‎2ac≤a2＋c2，‎ 所以2ab＋2bc＋‎2ac≤2(a2＋b2＋c2)，‎ 所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，‎ 即a2＋b2＋c2≥.‎ ‎　(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2) 应用重要不等式a2＋b2≥2ab放缩时要注意待证不等式的方向性．‎ ‎　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等差数列；‎ ‎(2)若C＝，求证：‎5a＝3b.‎ ‎[证明]　(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，‎ 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B，‎ 由正弦定理，‎ 得a＋c＝2b，‎ 即a，b，c成等差数列．‎ ‎(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 ‎(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，‎ 即‎5a＝3b.‎ 考点2　分析法的应用 ‎　分析法证明问题的思路及适用范围 利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．‎ ‎　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.‎ 求证：＋＝.‎ ‎[证明]　要证＋＝，‎ 即证＋＝3，‎ 也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，‎ 故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ ‎　(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2＋a2＝ac＋b‎2”‎，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ ‎　若a，b∈(1，＋∞)，证明＜.‎ ‎[证明]　要证＜，‎ 只需证()2＜()2，‎ 只需证a＋b－1－ab＜0，‎ 即证(a－1)(1－b)＜0.‎ 因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，‎ 即(a－1)(1－b)＜0成立，‎ 所以原不等式成立．‎ 考点3　反证法的应用 ‎　用反证法证明问题的步骤 ‎(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立．(否定结论)‎ ‎(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)‎ ‎(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)‎ ‎　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.‎ 证明：(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，‎ 有a＋b≥2＝2，‎ 即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，‎ 则由a2＋a<2及a>0，‎ 得00且b≠1，b，r均为常数)的图像上．‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的n∈N＋，不等式··…·＞成立．‎ ‎[解]　(1)由题意得，Sn＝bn＋r，‎ 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．‎ 由于b＞0，且b≠1，‎ 所以n≥2时，数列{an}是以b为公比的等比数列．‎ 又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)，‎ 所以＝b，即＝b，解得r＝－1.‎ ‎(2)证明：由(1)及b＝2知an＝2n－1.‎ 因此bn＝2n(n∈N＋)，‎ 所证不等式为··…·＞.‎ ‎①当n＝1时，左式＝，右式＝，‎ 左式＞右式，所以结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，‎ 即··…·＞，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ··…··＞·＝，‎ 要证当n＝k＋1时结论成立，‎ 只需证≥，‎ 即证≥，‎ 由基本不等式得 ＝≥成立，‎ 故≥成立，所以当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②可知，n∈N＋时，‎ 不等式··…·＞成立．‎ ‎　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋.‎ ‎(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ ‎[解]　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，‎ 所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；‎ 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，‎ 所以f(3)＜g(3)．‎ ‎(2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．‎ ‎②假设当n＝k(k＞3，k∈N＋)时不等式成立，‎ 即1＋＋＋＋…＋＜－，‎ 则当n＝k＋1时，‎ f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.‎ 因为－ ‎＝－ ‎＝＜0，‎ 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．‎ 由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立．‎