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- 2021-06-16 发布
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第2讲 简单不等式的解法
[学生用书P5]
1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集
(1)当a>0时，解集为；
(2)当a<0时，解集为．
2．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
(2)当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅，要注意区别．
(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
2．分式不等式的四种形式求解思路
①>0⇔f(x)g(x)>0；
②<0⇔f(x)g(x)<0；
③≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0；
④≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0或f(x)＝0.
3．绝对值不等式的解法
(1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2；
(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；
(3)|f(x)|0的解集为，则a的值为( )
A．4 B．－4
C．1 D．－1
A [解析] 由不等式4x2＋ax＋1>0的解集为知，－＝－.所以a＝4.故选A.
3．不等式≤0的解集为( )
A.
B．
C.∪[1，＋∞)
D．∪[1，＋∞)
A [解析] 由不等式≤0
可得
解得－0的解集为，则ab的值为________．
[解析] 由不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，知a<0且ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝－1，x2＝，由根与系数的关系知
所以a＝－3，b＝－2，ab＝6.
[答案] 6
5．若不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．
[解析] 因为不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
所以Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
所以a>4或a<－4.
[答案] (－∞，－4)∪(4，＋∞)
一元二次不等式的解法(高频考点)[学生用书P5]
一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题．
高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度：
(1)解一元二次不等式；
(2)已知一元二次不等式的解集求参数．
[典例引领]
解下列不等式：
(1)－2x2＋3x＋2<0；
(2)12x2－ax>a2(a∈R)．
【解】 (1)－2x2＋3x＋2<0，即为2x2－3x－2>0.
Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0.
方程2x2－3x－2＝0的两实根为x1＝－，x2＝2.
所以2x2－3x－2>0的解集为{x|x<－或x>2}，
即原不等式的解集为{x|x<－或x>2}．
(2)因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，解集为；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
[题点通关]
角度一 解一元二次不等式
1．解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)00的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为______．
[解析] 依题意知，
所以解得a＝－12，c＝2，
所以不等式－cx2＋2x－a>0，
即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，
解得－21.
【解】 (1)原不等式可化为≤0，
所以
所以
即－0，
所以>0，
所以>0，则x<－2.
故原不等式的解集为{x|x<－2}．
解下列不等式：
(1)≥0；
(2)<3.
[解] (1)不等式≥0可以转化为(x＋1)(x－3)≥0且x≠3，所以解集为{x|x>3或x≤－1}．
(2)不等式<3可以改写为－3<0，即<0，故原不等式的解集为{x|－1a⇔x<－a或x>a.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号，适用于|x－a|<|x－b|或|x－a|>|x－b|型的不等式的求解．
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
[通关练习]
1．不等式|2x－1|>3的解集为( )
A．{x|x<－2或x>1}
B．{x|－22}
D．{x|－13得2x－1<－3或2x－1>3，即x<－1或x>2，故选C.
2．不等式|2x－3|<3x＋1的解集为________．
[解析] 由|2x－3|<3x＋1得
解得即x>.
故不等式|2x－3|<3x＋1的解集为{x|x>}．
[答案] {x|x>}
[学生用书P7]
——分类讨论思想在解不等式中的应用
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【解】 原不等式可化为(x－1)<0(a>0)，
①若01，
所以11，则<1，所以1时，不等式的解集为.
(1)本题利用了分类讨论思想，所谓分类讨论思想，
是在研究和解决数学问题时，若问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称为“分类讨论思想”．分类讨论是“化整为零，各个击破，积零为整”的解题策略．
(2)本题根据和1的大小进行比较，对于含参数的不等式一般要分类讨论，对于含绝对值的不等式也要分类讨论．
不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
[解析] 由得x≤－3；
由得无解；
由得x≥2.
即所求的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
[答案] {x|x≤－3或x≥2}
[学生用书P323(独立成册)]
1．不等式－2x2＋x<－3的解集为( )
A．{x|－1} D．{x|x<－1或x>}
D [解析] －2x2＋x<－3，
即为2x2－x－3>0，Δ＝25>0，
方程2x2－x－3＝0的两实根为x1＝－1，x2＝，
所以2x2－x－3>0的解集为{x|x<－1或x>}，故选 D．
2．不等式<0的解集是( )
A．{x|x<4} B．{x|30，所以不等式的解集是
.
3．关于x的不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－10，
即为x2－2mx－2n<0.
由题意知，x2－2mx－2n<0的解集为{x|－10的解集为(－2，1)，则函数y＝f(x)的图象为( )
B [解析] 因为不等式的解集为(－2，1)，所以a<0，排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B．
6．若00的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|－12}
A [解析] 依题意，a>0且－＝1.
>0⇔(ax－b)(x－2)>0⇔(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0⇒x>2或x<－1.
8．已知函数f(x)＝则不等式x＋x·f(x)≤2的解集为( )
A．(－∞，－1] B．(－1，1)
C．(－∞，1] D．(1，＋∞)
C [解析] 原不等式等价于或，
解得0≤x≤1或x<0，所以不等式的解集为(－∞，1]，故选C.
9．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，则a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
A [解析] 由题意得，A＝{x|－10的解集是∅，则实数m的取值范围为( )
A．m≤－1 B．m≥－1
C．m≤1 D．m≥1
A [解析] －x2＋2x＋m>0，
即为x2－2x－m<0.
由题意得Δ＝(－2)2－4×1×(－m)≤0，
即4＋4m≤0，
所以m≤－1.故选A.
11．不等式≥2的解集是( )
A. B．
C.∪(1，3] D．∪(1，3]
D [解析] 由≥2，得≥0，
即≥0.
所以原不等式等价于
即解得
所以原不等式的解集是∪(1，3]．
12．(2017·广东省联合体联考)已知函数f(x)＝则使f(x)≥1的x的取值范围为( )
A. B．
C．(－∞，1)∪ D．(－∞，1]∪
D [解析] 不等式f(x)≥1等价于或解之得x≤1或≤x≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪，故选D．
13．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
[解析] 不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是________．
[解析] 原不等式即(x－a)·<0，由00}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，则有a＝________，b＝________.
[解析] 由题意得集合A＝{x|x<－1或x>3}，又A∪B＝R，A∩B＝(3，4]，所以集合B为{x|－1≤x≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a＝－3，b＝－4.
[答案] －3 －4
18．对于实数x，当且仅当n≤x0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
[解] (1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
20．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m0的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1，或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
所以f(x)－m<0，即f(x)
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