2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第2章 2 7页

www.ks5u.com ‎2.2　直线的方程 ‎2.2.1　‎直线点斜式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)‎ ‎2.掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)‎ ‎3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)‎ 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养.‎ ‎ ‎ 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．‎ 已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？‎ ‎1．直线的点斜式方程和斜截式方程 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0)‎ y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？‎ ‎[提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．‎ ‎2．直线在y轴上的截距 定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.‎ 符号：可正，可负，也可为零．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线． (　　)‎ ‎(2)＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程． (　　)‎ ‎(3)直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　)‎ A．2　　　B．－1　　　C．3　　　D．－3‎ C　[由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.]‎ ‎3．直线－＝1在y轴上的截距是(　　)‎ A．|b| B．－b2‎ C．b2 D．±b B　[令x＝0，则y＝－b2.]‎ ‎4．过点(2,1)且与直线y＝3x＋1平行的直线的点斜式方程为________．‎ y－1＝3(x－2)　[y＝3x＋1的斜率为3，∴所求直线的斜率为3，即所求直线方程的点斜式方程为y－1＝3(x－2)．]‎ 直线的点斜式方程 ‎【例1】　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．‎ ‎(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．‎ ‎(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5　[(1)因为倾斜角为45°，‎ 所以斜率k＝tan 45°＝1，‎ 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.‎ ‎(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.]‎ 求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．分别求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形．‎ ‎(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．‎ ‎[解]　(1)由点斜式方程得 y－4＝2(x－3)．‎ ‎(2)与x轴平行时，k＝0，‎ ‎∴y－4＝0×(x－3)，即y＝4.‎ ‎(3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x＝3.‎ 直线的斜截式方程 ‎【例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程：‎ ‎(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；‎ ‎(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；‎ ‎(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.‎ ‎[解]　(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.‎ ‎(2)因为倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得直线方程为y＝－x－2.‎ ‎(3)因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.‎ 求直线的斜截式方程 ‎(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程．‎ ‎(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率．‎ ‎(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．‎ ‎[解]　设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.‎ 由已知可得·|b|·|－6b|＝3，‎ 即6|b|2＝6，∴b＝±1.‎ 故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.‎ 斜截式在两直线平行与垂直中的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，应满足什么条件？若l1⊥l2，应满足什么条件？‎ ‎[提示]　k1＝k2且b1≠b2；k1·k2＝－1.‎ ‎2．一次函数的解析式与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？‎ ‎[提示]　一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数，而斜截式方程y＝kx＋b中的k可以是0.‎ ‎【例3】　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？‎ ‎(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？‎ ‎[思路探究]　由直线的斜截式方程中k、b的几何意义及直线平行、垂直的条件建立关于a的方程及不等式，求出a的值．‎ ‎[解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，∵l1∥l2，‎ ‎∴解得a＝－1.‎ 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．‎ ‎(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，‎ 解得a＝.‎ 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．‎ ‎1．[变结论]本例(1)中l2恒过哪个定点？过该定点且与l1平行的直线方程是什么？‎ ‎[解]　在y＝(a2－2)x＋2中，当x＝0时，y＝2.‎ 故直线l2恒过定点(0,2)．‎ 当与l1平行时，斜率k＝－1.‎ 故过(0,2)且与l1平行的直线方程为y＝－x＋2.‎ ‎2．[变结论]在例(2)中a为何值时，两直线平行？‎ ‎[解]　根据平行的条件知，‎ ，解得a＝.‎ 即a＝时，l1∥l2.‎ 已知两直线的斜截式方程，判定两直线平行与垂直 设直线l1的方程为y＝k1x＋b1，直线l2的方程为y＝k2x＋b2.‎ ‎(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；‎ ‎(2)l1与l2重合⇔k1＝k2，且b1＝b2；‎ ‎(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.‎ ‎2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时)．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．‎ ‎1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0‎ C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0‎ D　[α＝135°的斜率k＝－1，所以方程为y＝－x－1即x＋y＋1＝0.]‎ ‎2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)‎ A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1‎ B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1‎ C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1‎ D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1‎ C　[直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.]‎ ‎3．已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．‎ y－1＝－(x－2)　[由条件可知kl＝－，∴方程为y－1＝－(x－2)．]‎ ‎4．无论k取何值时，直线y＝kx＋2k－3所过的定点是________．‎ ‎(－2，－3)　[直线方程能化成点斜式方程：y＋3＝k(x＋2)，‎ 所以过定点(－2，－3)．]‎ ‎5．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．‎ ‎[解]　直线l1的方程是y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－6＋＝0.‎ ‎∵k1＝－＝tan α1，‎ ‎∴α1＝150°.‎ 如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，‎ ‎∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－2＋＝0.‎