高中数学选修1-1课时提升作业二十3-2-1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式精讲优练课型 7页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 二十 几个常用函数的导数 与基本初等函数的导数公式 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.若曲线 y=x2 在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 2,则 a 等于 ( ) A.2 B.4 C. D. 【解析】选 A.y′=2x,则切线的斜率为 2a, 所以曲线 y=x2 在点(a,a2) (a>0)处的切线方程为 y-a2=2a·(x-a),即 y=2ax-a2. 令 x=0 得 y=-a2,令 y=0 得 x= , 所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 ×a2× =2,解得 a=2,故选 A. 2.(2016·海南高二检测)已知函数 f(x)= ,则 f′(-2)= ( ) A.4 B. C.-4 D.- 【解题指南】利用常用函数的导数公式进行计算. 【解析】选 D.因为 f(x)= ,所以 f′(x)=- , 所以 f′(-2)=- =- . 3.(2016·临沂高二检测)若函数 f(x)= f′(-1)x2-2x+3,则 f′(-1)的值为 ( ) A.0 B.-1 C.1 D.2 【解析】选 B.因为 f(x)= f′(-1)x2-2x+3, 所以 f′(x)=f′(-1)x-2. 所以 f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2, 所以 f′(-1)=-1. 4.质点做直线运动的方程是 s= ,则质点在 t=3 时的速度是(位移单位:m,时间单位:s) ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.因为 s= = , 所以 s′= ,当 t=3 时, s′= · = . 5.(2016·保定高二检测)已知曲线 y=lnx 的切线过原点,则此切线的斜率 为 ( ) A.e B.-e C. D.- 【解析】选 C.y′= ,设切点为(x0,lnx0)(x0>0), 则 k=y′ = ,切线方程为 y-lnx0= (x-x0). 因为切线过点(0,0), 所以-lnx0=-1,解得 x0=e,故 k= . 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·临沂高二检测)曲线 y=x2 在 x= 处的切线的倾斜角α为 . 【解析】由 y=x2,得 y′=2x, y′ =1,因此斜率 k=1, 所以α=45°. 答案:45° 7.(2016·青岛高二检测)曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程是 . 【解析】由 y= ,得 y′= , 所以斜率 k=y′ = , 所以切线方程为 y-1= (x-1), 即 x-2y+1=0. 答案:x-2y+1=0 【补偿训练】(2014·广东高考)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为 . 【 解 析 】 因 为 y ′ =-5ex, 所 以 在 点 (0,-2) 处 的 切 线 斜 率 为 -5, 所 以 切 线 方 程 为 y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0 8.(2016·石家庄高二检测)已知点 P 在曲线 y= 上,α为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则α的取值范围是 . 【解析】y′= = ≥-1, 即 tanα≥-1 且 tanα<0,所以 ≤α<π. 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2016·洛阳高二检测)若函数 f(x)= 在 x=c 处的导数值与函数值互为相反数,求 c 的值. 【解析】由于 f(x)= , 所以 f(c)= , 又 f′(x)= = , 所以 f′(c)= . 由题意知 f(c)+f′ (c)=0, 所以 + =0, 所以 2c-1=0,得 c= . 10.(2016·郑州高二检测)试求过点 P(2,-1)且与曲线 y=x2 相切的直线的方程. 【解题指南】先判断所给点是否在曲线上,若不在曲线上,则需设出切点坐标,然后利用斜率 相等,列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程. 【解析】由题意知点 P(2,-1)不是曲线 y=x2 上的点,即点 P 不是切点,设切点为 M(x0,y0),则 y0= ,① 因为 y′=2x,所以 y′= =2x0. 又 kPM= ,所以 2x0= .② 由①②解得 x0=2+ 或 x0=2- . 当 x0=2+ 时,切线斜率 k=2x0=4+2 . 此时切线方程为 y+1=(4+2 )(x-2), 即(4+2 )x-y-9-4 =0. 当 x0=2- 时,切线斜率 k=2x0=4-2 , 此时切线方程为 y+1=(4-2 )(x-2), 即(4-2 )x-y-9+4 =0. 所以切线方程为(4+2 )x-y-9-4 =0 或(4-2 )x-y-9+4 =0. 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2016·石家庄高二检测)若曲线 y=f(x)= 在点(a, )处的切线与两个坐标轴围成的 三角形的面积为 18,则 a 等于 ( ) A.64 B.32 C.16 D.8 【解析】选 A.由题得 f′(a)=- , 切线方程为 y- =- (x-a), 令 y=0,得 x=3a, 令 x=0,得 y= . 所以切线与两坐标轴交点分别为 A(3a,0),B , 又因为 a>0, 所以 S△OAB= ×3a× = =18. 所以 a=64. 2.(2016·烟台高二检测)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)= f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2016(x)= ( ) A.sinx B. -sinx C. cosx D.-cosx 【解析】选 A.因为 f0(x)=sinx, 所以 f1(x)=(sinx)′=cosx, f2(x)=(cosx)′=-sinx, f3(x)=(-sinx) ′ =-cosx,f4(x)=(-cosx) ′ =sinx, … , 所 以 fn(x) 的 周 期 T=4, 所 以 f2016(x)=f0(x)=sinx. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016·洛阳高二检测)已知 f(x)=cosx,g(x)=x,则关于 x 的不等式 f′(x)+ g′(x)≤0 的解集为 . 【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0, 所以 sinx≥1, 又 sinx≤1, 所以 sinx=1, 所以 x= +2kπ,k∈Z. 答案: 4.(2015·陕西高考)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直, 则点 P 的坐标为 . 【解题指南】利用 y=ex 在某点处的切线与另一曲线的切线垂直求得另一曲线的切线的斜率, 进而求得切点坐标. 【解析】由 f′(x)=ex,得 f′(0)=e0=1. 又 y=ex 在(0,1)处的切线与 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,所以点 P 处的切线斜率为-1. 又 y′=- ,设点 P(x0,y0),所以- =-1,x0=±1,由 x0>0,得 x0=1,y0=1, 所以点 P 的坐标为(1,1). 答案:(1,1) 【补偿训练】曲线 y= 和 y=x2 在它们交点 A 处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积 是 . 【解析】由 得交点的坐标为(1,1). 由 y=x2 得 y′=2x, 所以曲线 y=x2 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), 即 y=2x-1. 由 y= 得 y′=- , 所以曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 y=-x+2. 如图所示,xB= ,xC=2. S△ABC= × ×1= . 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 5.已知曲线 y=5 ,求: (1)曲线上与直线 y=2x-4 平行的切线方程. (2)求过点 P(0,5),且与曲线相切的切线方程. 【解题指南】设切点坐标为(x0,y0),求曲线在此点处的导数 y′ . (1)利用 y′ =2,求切点坐标,进而求切线方程. (2)利用斜率相等,求切点坐标,进而求切线方程. 【解析】(1)设切点为(x0,y0),由 y=5 ,得 y′ = . 所以切线与 y=2x-4 平行, 所以 =2,所以 x0= ,所以 y0= . 则所求切线方程为 y- =2 , 即 16x-8y+25=0. (2)因为点 P(0,5)不在曲线 y=5 上, 故需设切点坐标为 M(x1,y1), 则切线斜率为 . 又因为切线斜率为 , 所以 = = , 所以 2x1-2 =x1,得 x1=4. 所以切点为 M(4,10),斜率为 , 所以切线方程为 y-10= (x-4), 即 5x-4y+20=0. 6.已知函数 f(x)= ,g(x)=alnx,a∈R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相 同的切线,求 a 的值及该切线的方程. 【解析】因为 f(x)= ,g(x)=alnx, 所以 f′(x)= ,g′(x)= . 设 f(x),g(x)的交点为(x0,y0), 则由已知得 解得 所以切线斜率 k=f′(x0)=f′(e2)= ,切点为(e2,e), 所以切线方程为 y-e= (x-e2),即 x-2ey+e2=0. 关闭 Word 文档返回原板块