高中数学第3章直线与方程3_3直线的交点坐标与距离公式3_3_2两点间的距离教材梳理素材新人教A版必修21 4页

3.3.2 两点间的距离 疱丁巧解牛 知识·巧学 一、两点间距离 1. 已 知 平 面 上 两 点 P1(x1 ， y1) 、 P2(x2 ， y2) ， 那 么 这 两 点 间 的 距 离 为 ｜ P1P2 ｜ = 2 12 2 12 )()( yyxx  .从公式看出，这两点间的距离与这两点的先后顺序无关，即也 可写成｜P1P2｜= 2 21 2 21 )()( yyxx  . 2.特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离｜OP｜= 22 yx  . 当 P1P2 平行于 x 轴时，｜P1P2｜=｜x2-x1｜； 当 P1P2 平行于 y 轴时，｜P1P2｜=｜y2-y1｜. 方法点拨 (1)平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上,将既不 平行也不垂直于坐标轴的线段分解成垂直于坐标轴的线段,通过端点坐标利用直角三角形的 勾股定理推出的. (2)推导过程中体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想. (3)两点间的距离公式是解析几何最重要最基本的公式,以后许多知识都是以它为基础,要熟 练记忆. 二、坐标法 1.在坐标系的基础上，利用代数方法来解决平面几何问题的方法称为坐标法，或叫解析法. 直角坐标系是沟通“数”与“形”的桥梁，是建立解析几何理论的基础，坐标法解题则是直 角坐标系这种巨大作用的初步体现. 2.利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行： 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：根据题中所给的条件，设出已知点的坐标，然后根据题设条件及几何性质推出 未知点的坐标,进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系. 深化升华 (1)不能把一般情况定为特殊情况. (2)选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零.为此常有以下约定：①将图形 一边所在直线或定直线作为 x 轴；②对称图形，取对称轴为 x 轴或 y 轴.若有直角，则取直 角边所在的直线为坐标轴；③可将图形的一个定点或两定点连线的中点作为原点. 问题·探究 问题 1 两点间距离公式在数轴上如何进行简化使用？ 探究:当两点在数轴上时，则点的坐标可表示为 P1(x1，0)，P2(x2，0)，由两点间距离公式｜ P1P2｜= 2 21 2 21 )()( yyxx  ，代入化简可得｜P1P2｜= 22 21 )00()(  xx =|x1-x2|. 并且可进一步的推出，只要两点 P1、P2 连线平行于 x 轴，则两点间距离就可简化为｜P1P2｜ =|x1-x2|. 问题 2 如果已知三点 A(5，-2)，B(1,5)，C(-1,2)构成一个三角形，你能判断三角形 ABC 的形状吗？怎么判断？ 探究:三角形 ABC 是以 C 为顶点的直角三角形.判断方法有多种: 方 法 一 ： 由 两 点 间 距 离 公 式 得 |AB|= 65)25()51( 22  ， |AC|= 52)22()51( 22  ， |BC|= 13)52()11( 22  ， 显 然 有 |AB|2=|AC|2+|BC|2，所以三角形 ABC 是以 C 为顶点的直角三角形. 方法二：可由斜率公式先求得 kCA= 3 2 ,kCB=3,∴kCA·kCB=-1，所以直线 CA⊥CB. 而由两点间距离公式得|AC|= 52 ,|BC|= 13 ，所以三角形 ABC 是以 C 为顶点的直角三 角形. 典题·热题 例 1 已知△ABC 中，A(4，5)，B 点在 x 轴上，C 点在直线 l：2x-y+2=0 上，求△ABC 的周长 的最小值，并求 B、C 两点的坐标. 思路解析：显然直接设点 B、C 的坐标用距离公式是很麻烦的，且不易找到求最小值的方法(三 个根式相加)，可联想利用对称的知识解决.此处过 A 作关于 x 轴、直线 l 的对称点 A1、A2， 在 x 轴和直线 l 上分别取点 B、C，则｜AB｜+｜BC｜+｜CA｜=｜A1B｜+｜BC｜+｜A2C｜.显然 当点 A1、B、C、A2 四点共线时，上式的值最小，故连结 A1A2 交 x 轴于点 B，交直线 l 于点 C， 这就是所求的点且周长的最小值为｜A1A2｜. 解：如图 3-3-1,点 A 关于 x 轴的对称点为 A(4，-5).设点 A 关于直线 l 的对称点为 A2(m，n)， 则         .022 5 2 42 ,124 5 nm m n 图 3-3-1 ∴      7,n 0,m 即 A2(0，7). ∴直线 A1A2 的方程为 y= 740 57   x ，即 y=-3x+7. 令 y=0 得 x= 3 7 ，即直线 A1A2 交 x 轴于点 B( 3 7 ，0). 由      0,2y-2x 7,-3xy 得      4,y 1,x 即直线 A1A2 交直线 l 于点 C(1，4)，即点 B( 3 7 ，0)、C(1，4)为符合条件的点. 此时，｜AB｜+｜BC｜+｜CA｜=｜A1A2｜= 1045)(74)-(0 22  ， 即△ABC 的周长的最小值为 104 . 深化升华 对平面上两点间距离的直接运用，要注意公式的形式，由｜PA｜=｜PB｜列等式解 关于 x、y 的方程.有些问题中，有关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题时，如果直 接代入两点间距离公式，由于有两个根式，所以求解非常繁琐，故经常采用对称问题转化后 再由两点间距离求解. 例 2 已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的直角坐标系，证明 AM= BC2 1 . 思路解析：因为△ABC 是直角三角形，所以选择直角顶点为坐标原点，直角边所在直线为坐 标轴.这样建立的直角坐标系，便于设点求解. 证明：如图 3-3-2，以 Rt△ABC 的直角边 AB、AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系， 设 B、C 两点的坐标分别为(b，0)、(0，c). 图 3-3-2 因为点 M 是 BC 的中点，故点 M 的坐标为( 2 0,2 0 cb  )， 即( 2,2 cb ). 由两点间距离公式得 |BC|= 2222 0)-(cb)-(0 cb  ， |AM|= 222 2 1)02()02( cbcb  . 所以 AM= BC2 1 . 深化升华 坐标法(也叫解析法)是证明平面几何中线段长度的一种全新方法,用这种方法避 免了寻找三角形全等或相似的步骤，只通过代数计算即可实现.这种方法的关键是坐标系的 建立，如坐标系选取的不适当，则会计算烦琐，一般在问题中如有互相垂直的直线，一般把 它们建为 x 轴、y 轴，并且使尽可能多的点位于坐标轴上，这样点的坐标方便，如有中点对 称的关系，一般建在原点的两侧呈对称分布. 例 3 求函数 y= 841 22  xxx 的最小值. 思路解析：此函数的定义域为 R，如果从代数和角度考虑，确实比较复杂，如果借助于两点 间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易，解决问题的关键是：把函数表达式的两部分 表示为两点间距离公式的形式进而求解. 解：因为 y= 222222 )20()2()10()0(841  xxxxx . 令 A(0,1)，B(2,2)，P(x，0)，则 y=｜PA｜+｜PB｜. 即将上述函数的最小值问题，转化为求距离和的最小值问题.借助于光学的知识和对称 的知识，作出点 A 关于 x 轴的对称点 A′，则｜PA｜=｜PA′｜，所以求｜PA｜+｜PB｜的最 小值问题便可转化为求｜PA′｜+｜PB｜的最小值问题. 由图形可知(｜PA′｜+｜PB｜)min=｜A′B｜= 13)12(2 22  ， 所以函数 y= 841 22  xxx 的最小值为 13 . 深化升华 有很多的代数问题可以直接求解，但用代数思想和方法来求解时难度较大，而且 这些问题可以通过变形转化为几何问题，借助于几何上的某些结论或方法就能进行快速的求 解,起到事半功倍的作用.