2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 微专题1　平面向量数量积的综合应用 4页

微专题 1 平面向量数量积的综合应用 向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直条件 与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视 数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养. 一、平面向量数量积的计算 例 1 (1)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π 4 ，若AB→·AC→＝2AB→·AD→ ，则AD→ ·AC→ ＝________. 答案 12 解析 因为AB→·AC→＝2AB→·AD→ ， 所以AB→·AC→－AB→·AD→ ＝AB→·AD→ ， 所以AB→·DC→ ＝AB→·AD→ . 因为 AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π 4 ， 所以 2|AB→|＝|AB→||AD→ |cos π 4 ， 化简得|AD→ |＝2 2. 故AD→ ·AC→＝AD→ ·(AD→ ＋DC→ )＝|AD→ |2＋AD→ ·DC→ ＝(2 2)2＋2 2×2cos π 4 ＝12. (2)在△ABC 中，已知AB→与AC→的夹角是 90°，|AB→|＝2，|AC→|＝1，M 是 BC 上的一点，且AM→ ＝ λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，且AM→ ·BC→＝0，则λ μ 的值为________. 答案 1 4 解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)， 所以AB→＝(0,2)，AC→＝(1,0)，BC→＝(1，－2). 设 M(x，y)，则AM→ ＝(x，y)， 所以AM→ ·BC→＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0， 所以 x＝2y， 又AM→ ＝λAB→＋μAC→， 即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)， 所以 x＝μ，y＝2λ，所以λ μ ＝ 1 2y 2y ＝1 4. 反思感悟 平面向量数量积的运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos θ(θ为 a，b 的夹角). (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2 ＋y1y2. 提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积 的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等 还是互补. 二、平面向量数量积的应用 1.求模 例 2－1 已知平面向量 a，b 的夹角为π 6 ，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，AB→＝2a＋2b，AC→ ＝2a－6b，D 为 BC 中点，则|AD→ |＝________. 答案 2 解析 因为AD→ ＝1 2(AB→＋AC→)＝1 2(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以|AD→ |2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2) ＝4× 3－2×2× 3×cos π 6 ＋4 ＝4， 则|AD→ |＝2. 2.求夹角 例 2－2 已知正方形 ABCD，点 E 在边 BC 上，且满足 2BE→＝BC→，设向量AE→，BD→ 的夹角为 θ，则 cos θ＝________. 答案 － 10 10 解析 因为 2BE→＝BC→， 所以 E 为 BC 的中点. 设正方形的边长为 2，则|AE→|＝ 5，|BD→ |＝2 2， AE→·BD→ ＝ AB→＋1 2AD→ ·(AD→ －AB→) ＝1 2|AD→ |2－|AB→|2＋1 2AD→ ·AB→＝1 2 ×22－22＝－2， 所以 cos θ＝ AE→·BD→ |AE→||BD→ | ＝ －2 5×2 2 ＝－ 10 10 . 3.垂直问题 例 2－3 △ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下 列结论正确的是( ) A.|b|＝1 B.a⊥b C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥BC→ 答案 D 解析 ∵b＝AC→－AB→＝BC→， ∴|b|＝|BC→|＝2，故 A 错； ∵BA→·BC→＝2×2×cos 60°＝2， 即－2a·b＝2， ∴a·b＝－1，故 B，C 都错； ∵(4a＋b)·BC→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0， ∴(4a＋b)⊥BC→，故选 D. 反思感悟 (1)求向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出 向量，然后求解. (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝ a·b |a||b| ，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]， 求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系； ②坐标法：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 cos θ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21 x22＋y22 . (3)两向量垂直的应用 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中 a≠0，b≠0). 三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题 例 3 (1)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0，π]，若 f(x)＝a·b，求 f(x)的最 值. 解 f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos x＋π 6 . 因为 x∈[0，π]，所以 x＋π 6 ∈ π 6 ，7π 6 ， 从而－1≤cos x＋π 6 ≤ 3 2 . 于是，当 x＋π 6 ＝π 6 ，即 x＝0 时，f(x)取得最大值 3； 当 x＋π 6 ＝π，即 x＝5π 6 时，f(x)取得最小值－2 3. (2)已知向量 m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R. ①若 m⊥n，求α； ②若|m－n|＝ 2，求 cos 2α的值. 解 ①若 m⊥n，则 m·n＝0， 即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0， 即 sin α＝1 2 ，可得α＝2kπ＋π 6 或α＝2kπ＋5π 6 ，k∈Z. ②若|m－n|＝ 2，则(m－n)2＝2， 即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2， 即 4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2， 即 8－8sin α＝2， 可得 sin α＝3 4 ， 所以 cos 2α＝1－2sin2α＝1－2× 9 16 ＝－1 8. 反思感悟 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函 数的关系式，然后求解. (2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其 解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解.