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- 2021-06-16 发布
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第8节 函数与方程
考试要求 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
知 识 梳 理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0;则函数y=f(x)在(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论与微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)=lg x的零点是(1,0).( )
(2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)⊆D内有零点,则f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
解析 (1)f(x)=lg x的零点是1,故(1)错.
(2)f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故(2)错.
答案 (1)× (2)× (3)√
2.(老教材必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x
1
2
3
4
5
f(x)
-4
-2
1
4
7
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
解析 由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点.
答案 B
3.(新教材必修第一册P143例1改编)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 由f′(x)=ex+3>0,得f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,则f(-1)·f(0)<0.因此函数f(x)有且只有一个零点.
答案 B
4.(2020·石家庄模拟)f(x)=ex-x-2在下列哪个区间必有零点( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
解析 f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,因为f(1)·f
(2)<0,所以f(x)在(1,2)内存在零点.
答案 C
5.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 2sin x-sin 2x=0,得sin x=0或cos x=1.
又x∈[0,2π],由sin x=0,得x=0,π,2π.
由cos x=1,得x=0,2π.
∴f(x)=0有三个实根0,π,2π,即f(x)在[0,2π]上有三个零点.
答案 B
6.(2020·济南质检)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是________.
解析 m=-x2+2x在(0,4)上有解,
又-x2+2x=-(x-1)2+1,∴y=-x2+2x在(0,4)上的值域为(-8,1],∴-80,
所以g(2)·g(3)<0.
故函数g(x)的零点所在区间为(2,3).
(2)设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y=
的图象如图所示.
因为f(1)=1-=-1<0,
f(2)=8-=7>0,
所以f(1)·f(2)<0,所以x0∈(1,2).
答案 (1)C (2)(1,2)
规律方法 1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:
(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,不满足条件时,一定要综合函数性质进行分析判断.
【训练1】 (2020·保定检测)函数f(x)=x-4的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
解析 函数f(x)=x-4在R上的图象连续不间断.
又f(1)=1-2<0,f(2)=2-1>0,∴f(1)·f(2)<0.
故函数f(x)的零点所在的区间为(1,2).
答案 B
考点二 确定函数零点的个数
【例2】 (1)(2020·宜昌调研)已知函数f(x)=
则函数f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)(2020·惠州质检)函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 (1)当x>1时,令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2.
当x≤1时,令f(x)=2x-1-1=0,得x=1.
∴函数f(x)的零点为x=1与x=2,有2个零点.
(2)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
答案 (1)C (2)C
规律方法 函数零点个数的判断方法:
(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;
(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
【训练2】 (1)(一题多解)函数f(x)=的零点个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
解析 (1)法一 由f(x)=0得或解得x=-2或x=e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.
(2)当x∈(0,1]时,因为f′(x)=+sin x,>0,sin x>0,所以f′(x)>0,故f(x)在[0,1]上单调递增,且f(0)=-1<0,f(1)=1-cos 1>0,所以f(x)在[0,1]内有唯一零点.当x
>1时,f(x)=-cos x>0,故函数f(x)在[0,+∞)上有且仅有一个零点.
答案 (1)B (2)B
考点三 函数零点的应用 多维探究
角度1 根据函数零点个数求参数
【例3-1】 (2020·九江联考)已知f(x)=
若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实根,则实数a的取值范围是( )
A.∪[1,2) B.∪[1,2)
C.(1,2) D.[1,2)
解析 依题意直线y=a与y=f(x)的图象有两个交点.
作出y=a,y=f(x)的图象,如图所示.
又当x≤1时,f(x)=∈(0,1];
当x>1时,f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,
∴当x=2时,f(x)有最大值f(2)=2.
结合图象,当a∈∪[1,2)时,两图象有2个交点.
此时,方程a=f(x)有两个不同实根.
答案 B
角度2 根据零点的范围求参数
【例3-2】 (1)方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是________.
(2)(2020·合肥模拟)已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 020+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )
A.a>c>d>b B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
解析 (1)令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5c>d>b.
答案 (1)[5,10) (2)A
规律方法 1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合;(3)分离参数,转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
【训练3】 (1)(角度1)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
A.- B. C. D.1
(2)(角度2)若函数y=x+log2(a-2x)+2在R上有零点,则实数a的最小值为________.
解析 (1)f(x)=(x-1)2-1+a(ex-1+e1-x),则f(2-x)=(2-x-1)2-1+a[e2-x-1+e1-(2-x)]=(1-x)2-1+a(ex-1+e1-x)=f(x),即f(x)的图象关于直线x=1对称.
若f(x)有唯一的零点,则只有f(1)=0,∴a=.
或:作出y=a(ex-1+e-x+1)与y=-x2+2x的图象.
结合函数的最值求解(读者自行完成).
(2)令x+log2(a-2x)+2=0,则a-2x=2-(x+2).
依题意,关于x的方程a=2x+2-(x+2)有解.
又2x+2-(x+2)≥2=1.
当且仅当x=-1时,等号成立.
∴a≥1,故a的最小值为1.
答案 (1)C (2)1
直观想象——解嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,常考查三次函数与复合函数相关零点,与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.
类型1 嵌套函数零点个数的判断
【例1】 已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是________.
解析 由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,
作出函数y=f(x)的图象如图所示.
由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.
因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.
答案 5
【例2】 已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t)-2t-,则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)-2t-=0的根的问题.
令y=f(t)-2t-=0,则f(t)=2t+.
分别作出y=f(t)和y=2t+的图象,如图①,由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2(不妨设t1t1),则t1<-1,t2≥-1.
当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.
答案 [-1,+∞)
思维升华 1.求解本题抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0 C. D.0
解析 当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;
当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,解得x=,
又因为x>1,所以此时方程无解.
综上,函数f(x)的零点只有0.
答案 D
2.若a0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,
由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.
答案 A
3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
解析 因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,
所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以00时,f(x)=3x-1有一个零点x=.
因此当x≤0时,f(x)=ex+a=0只有一个实根,
∴a=-ex(x≤0),则-1≤a<0.
答案 D
5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( )
A. B. C.- D.-
解析 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,
所以2x2+1=x-λ,又函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,所以2x2-x+1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.
答案 C
6.已知函数f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零点依次为a,b,c,则( )
A.a2或<2a≤1.
解得a>1或0)的最小值为8,则实数a所在的区间是( )
A.(5,6) B.(7,8) C.(8,9) 0D.(9,10)
解析 由于f(x)在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0)上是减函数,
∴f(x)min=f(0)=a+log2a=8.
令g(a)=a+log2a-8,a>0.
则g(5)=log25-3<0,g(6)=log26-2>0,
又g(a)在(0,+∞)上是增函数,
∴实数a所在的区间为(5,6).
答案 A
14.(2019·天津卷)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为( )
A. B.
C.∪{1} D.∪{1}
解析 画出函数y=f(x)的图象,如图.
方程f(x)=-x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a的公共点的个数.
当直线l经过点A时,有2=-×1+a,a=;
当直线l经过点B时,有1=-×1+a,a=;
由图可知,a∈时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外,当直线l与曲线y=,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.
联立得=-x+a,即x2-ax+1=0,
由Δ=a2-4××1=0,得a=1(舍去负根).
综上,a∈∪{1}.
答案 D
15.已知函数f(x)=ex-e-x+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.
解析 易知y=ex-e-x为奇函数,且其图象向上平移4个单位,得y=f(x)的图象.
所以y=f(x)的图象关于点(0,4)对称,
又y=kx+4过点(0,4)且关于点(0,4)对称.
∴方程f(x)=kx+4的三个根中有一个为0,且另两根之和为0.因此x1+x2+x3=0.
答案 0
16.已知函数f(x)=若方程f(x)=kx-2有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________.
解析 由题意知函数f(x)的图象与恒过定点(0,-2)的直线y=kx-2有两个交点,作出y=f(x)与y=kx-2的图象,如图所示.
当直线y=kx-2过点(1,1)时,k=3.
结合图象知,当k≥3时,直线与y=f(x)图象有两个交点.
答案 [3,+∞)
C级 创新猜想
17.(多填题)(2018·浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)=
(1)当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________.
解析 (1)若λ=2,当x≥2时,令x-4<0,得2≤x<4;当x<2时,令x2-4x+3<0,解得14.
答案 (1)(1,4) (2)(1,3]∪(4,+∞)
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