【数学】2018届一轮复习北师大版第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的计算教案 10页

第十节　变化率与导数、导数的计算 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解导数概念的实际背景；‎ ‎2.理解导数的几何意义；‎ ‎3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数。‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，16,5分(导数的几何意义)‎ ‎2016，全国卷Ⅲ，15,5分(切线方程)‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，21(1)，5分(切线问题)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，12,5分(切线问题)‎ ‎2014，全国卷Ⅱ，8,5分(利用导数几何意义、求参数)‎ ‎1.有关导数的计算较少直接考查，一般出现在解答题中的某一个环节上，作为解题工具；‎ ‎2.导数的几何意义考查较多，有时以客观题形式出现，有时在大题的某一问中出现。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ 。‎ ‎(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)。‎ ‎(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数。‎ ‎2．导数公式及运算法则 ‎(1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ ‎(2)导数的运算法则 ‎①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎③′＝(g(x)≠0)。‎ ‎(3)复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。‎ 微点提醒 ‎1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆。‎ ‎2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者。‎ ‎3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(选修1－1P73例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________，加速度a＝________。‎ ‎【解析】　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8。‎ ‎【答案】　－9.8t＋6.5　－9.8‎ ‎2．(选修1－1P85习题‎3.2A组T7改编)f(x)＝cosx在点处的切线的倾斜角为______。‎ ‎【解析】　f′(x)＝－sinx，切线的斜率k＝f′＝－1，故切线的倾斜角为π。‎ ‎【答案】　π 二、双基查验 ‎1．f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为(　　)‎ A．0 B．3‎ C．4 D．－ ‎【解析】　∵f(x)＝x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2。‎ ‎∴f′(－1)＝3。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)‎ ‎ ‎ ‎【解析】　由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C。‎ 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎3．(2017·盘锦模拟)已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为(　　)‎ A．－2　　　 B．‎2　‎　　‎ C.　　　 D．1‎ ‎【解析】　由题知y1′＝，y2′＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，解得x0＝1。故选D。‎ ‎【答案】　D ‎4．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若 f′(1)＝3，则a的值为________。‎ ‎【解析】　因为f′(x)＝a(1＋lnx)，所以f′(1)＝a＝3。‎ ‎【答案】　3‎ ‎5．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________。‎ ‎【解析】　y′＝1＋，则曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线斜率为k＝y′＝1＋1＝2，故切线方程为y＝2x－1。因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，联立得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－‎8a＝0⇒a＝8。‎ ‎【答案】　8‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 导数的计算…………多维探究 角度一：由函数的解析式求导数 ‎【典例1】　(1)若y＝x，则y′＝________。‎ ‎(2)若y＝x－sincos，则y′＝________。‎ ‎(3)若y＝(＋1)，则y′＝________。‎ ‎(4)若y＝ln(1－2x)，则y′＝________。‎ ‎【解析】　(1)∵y＝x＝x3＋1＋x－2，‎ ‎∴y′＝3x2－2x－3＝3x2－。‎ ‎(2)∵y＝x－sincos＝x－sinx，‎ ‎∴y′＝1－cosx。‎ ‎(3)∵y＝(＋1)＝1－x＋x－－1＝－x＋x－，‎ ‎∴y′＝－x－－x－＝－。‎ ‎(4)设u＝1－2x，y＝lnu，则y＝ln(1－2x)是由y＝lnu与u＝1－2x复合而成，‎ 所以y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(1－2x)′＝·(－2)＝＝。‎ ‎【答案】　(1)3x2－　(2)1－cosx ‎(3)－　(4) 角度二：含有导数值的抽象函数求导问题 ‎【典例2】　(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝________。‎ ‎(2)已知函数f(x)＝f′sinx＋cosx，则f＝________。‎ ‎【解析】　(1)∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，‎ ‎∴f′(x)＝2x＋‎3f′(2)＋，‎ ‎∴f′(2)＝4＋‎3f′(2)＋＝‎3f′(2)＋，‎ ‎∴f′(2)＝－。‎ ‎(2)∵f(x)＝f′sinx＋cosx，‎ ‎∴f′(x)＝f′cosx－sinx，‎ ‎∴f′＝f′－，‎ ‎∴f′＝－(2＋)，‎ ‎∴f(x)＝－(2＋)sinx＋cosx，‎ ‎∴f＝－(2＋)×＋＝－1。‎ ‎【答案】　(1)－　(2)－1‎ 反思归纳　含有导数值的抽象函数的求导方法 对于含有导数值的抽象函数，求导时将导数值视为常数，利用基本初等函数的导数公式和运算法则求导即可。‎ ‎【变式训练】　(1)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝__________。‎ ‎(2)已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为__________。‎ ‎【解析】　(1)令ex＝t，则x＝lnt，‎ ‎∴f(t)＝lnt＋t。‎ ‎∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2。‎ ‎(2)f′(x)＝－f′sinx＋cosx，‎ 所以f′＝－f′×＋，‎ 解得f′＝－1，‎ 故f＝f′cos＋sin＝1。‎ ‎【答案】　(1)2　(2)1‎ 考点二 ‎ 导数的几何意义……多维探究 角度一：已知切点的切线方程问题 ‎【典例3】　(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，‎ f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________。‎ ‎【解析】　当x>0时，－x<0，则f(－x)＝ex－1＋x。又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，所以f′(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线斜率为f′(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x。‎ ‎【答案】　y＝2x 角度二：未知切点的切线方程问题 ‎【典例4】　(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________。‎ ‎【解析】　设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))。‎ 则切线分别为y－lnx1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，‎ 化简得y＝x＋lnx1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，‎ 依题意，，‎ 解得x1＝，‎ 从而b＝lnx1＋1＝1－ln2。‎ ‎【答案】　1－ln2‎ 角度三：求参数的值 ‎【典例5】　已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(　　)‎ A．－1　　　　　　　　 B．－3‎ C．－4 D．－2‎ ‎【解析】　∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1。‎ 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1。‎ g′(x)＝x＋m，‎ 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，‎ 于是解得m＝－2。故选D。‎ ‎【答案】　D 反思归纳　1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线。曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解。‎ ‎2．已知斜率k，求切点A(x0，f(x0))，即解方程f′(x0)＝k。‎ ‎3．(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解。‎ ‎(2)当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点。‎ ‎【变式训练】　(1)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________。‎ ‎(2)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________。‎ ‎【解析】　(1)由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2。设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)。‎ ‎(2)设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)。‎ 又y′＝，所以y′x＝x0＝＝1，‎ 即x0＋a＝1。‎ 又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，‎ 所以a＝2。‎ ‎【答案】　(1)(e，e)　(2)2‎ 微考场　新提升 ‎1．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为(　　)‎ A.　　　 B．‎0　‎　　‎ C.　　　 D．1‎ 解析　f′(x)＝excosx－exsinx，所以f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，所以倾斜角为。故选A。‎ 答案　A ‎2．(2016·陕西检测)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为(　　)‎ A．0 B．2 ‎ C．1 D．3‎ 解析　因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的切线，所以令y′＝2x－＝－1，得x＝1或x＝－(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2。故选B。‎ 答案　B ‎3．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质。下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A．y＝sinx B．y＝lnx C．y＝ex D．y＝x3‎ 解析　设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1。对于A选项，f′(x)＝cosx，显然k1·k2＝cosx1·cosx2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝(x>0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex>0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3x·3x＝－1无解，故该函数不具有T性质。故选A。‎ 答案　A ‎4．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________。‎ 解析　因为y＝ex，所以y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝y′x＝0＝e0＝1，设P的坐标为(x0，y0)(x0>0)，则y0＝，因为y＝，所以y′＝－，所以曲线y＝ 在点P处的切线的斜率k2＝y′x＝x0＝，因为k1·k2＝－1，所以－＝－1，即x＝1，解得x0＝±1，因为x0>0，所以x0＝1，所以y0＝1，即P的坐标是(1,1)。‎ 答案　(1,1)‎ ‎5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________。‎ 解析　∵x＝5，∴f(5)＝－5＋8＝3。又∵f′(5)＝－1，‎ ‎∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2。‎ 答案　2‎