【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第8讲　函数与方程学案 13页

第8讲　函数与方程 ‎1．函数的零点 ‎(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．‎ ‎(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．‎ ‎3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1，0)，(x2，0)‎ ‎(x1，0)‎ 无交点 零点个数 两个 一个 零个 ‎4.二分法 条件 ‎(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；‎ ‎(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)＜0‎ 方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)‎ ‎(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)‎ ‎(5)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎ (教材习题改编)已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎124.4‎ ‎35‎ ‎－74‎ ‎14.5‎ ‎－56.7‎ ‎－123.6‎ 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)‎ A．2个　　　　　　　　 B．3个 C．4个 D．5个 答案：B ‎ (教材习题改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在下列哪个区间内(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2)‎ C．(2，3) D．(3，4)‎ 答案：C ‎ (教材习题改编)函数f(x)＝x－的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案：B ‎ 若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)‎ A．0，2 B．0， C．0，－ D．2，－ 解析：选C．因为2a＋b＝0，‎ 所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．‎ 所以零点为0和－.‎ ‎ (教材习题改编)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．‎ 解析：因为f(2)＝6－7＋ln 2＝ln 2－1<0，‎ f(3)＝9－7＋ln 3＝2＋ln 3>0，‎ 又f(x)＝3x－7＋ln x为增函数，‎ 所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，‎ 故n＝2.‎ 答案：2‎ 函数零点所在区间的判断 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)‎ A．(1，2)　　　　　　　　　 B．(2，3)‎ C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)‎ ‎(2)设f(x)＝0.8x－1，g(x)＝ln x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)存在的零点一定位于下列哪个区间(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2)‎ C．(2，e) D．(e，3)‎ ‎【解析】　(1)因为f′(x)＝＋>0(x>0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln 3－>0，f(2)＝ln 2－1<0，所以f(2)·f(3)<0，所以f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B．‎ ‎(2)h(x)＝f(x)－g(x)的零点等价于方程f(x)－g(x)＝0的根，‎ 即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A，横坐标的范围为(0，1)，故选A．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)A 判断函数零点所在区间的3种方法 ‎(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．‎ ‎(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．‎ ‎(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，2)‎ C．(2，3) D．(3，4)‎ 解析：选C．因为f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2＜0，‎ f(2)＝ln 2－＜0，f(3)＝ln 3－＞0，‎ 所以x0∈(2，3)，故选C．‎ 函数零点个数的问题 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　 B．2‎ C．1 D．0‎ ‎(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是(　　)‎ A．多于4 B．4‎ C．3 D．2‎ ‎【解析】　(1)法一：由f(x)＝0得或 解得x＝－2或x＝e.‎ 因此函数f(x)共有2个零点．‎ 法二：函数f(x)的图象如图所示，‎ 由图象知函数f(x)共有2个零点．‎ ‎(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，‎ 观察图象可以发现它们有4个交点，‎ 即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 判断函数零点个数的3种方法 ‎(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．‎ ‎(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C．由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．‎ 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.‎ ‎2．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选A．由f(f(x))＋1＝0得f(f(x))＝－1，‎ 由f(－2)＝f＝－1得f(x)＝－2或f(x)＝.‎ 若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；‎ 若f(x)＝，则x＝－或x＝.‎ 综上可得函数y＝f(f(x))＋1的零点的个数是4，故选A．‎ 函数零点的应用(高频考点)‎ 函数零点的应用是每年高考的重点，多以选择题或填空题的形式考查，难度中档及以上．主要命题角度有：‎ ‎(1)已知函数在某区间上有零点求参数；‎ ‎(2)已知函数零点或方程根的个数求参数．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　已知函数在某区间上有零点求参数 ‎ 设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，则m的取值范围为________．‎ ‎【解析】　令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0.‎ 所以m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log2 ＝log2.‎ 因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5.‎ 所以≤≤，≤1－≤.‎ 所以log2 ≤log2≤log2 ，即log2 ≤m≤log2 .‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎【答案】　 ‎ 角度二　已知函数零点或方程根的个数求参数 ‎ (2018·昆明质量检测)已知关于x的方程＝a|x|有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0) B．(0，1)‎ C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎【解析】　方程＝a|x|有三个不同的实数解等价于函数y＝与y＝a|x|的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y＝与y＝a|x|的图象，如图所示，由图易知，a>0.当－20，‎ f(4)＝－log24＝－2＝－<0，‎ 故f(x)的零点所在的区间是(3，4)．‎ ‎2．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C．作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C．‎ ‎3．已知实数a>1，01，00，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．‎ ‎4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1，3) B．(1，2)‎ C．(0，3) D．(0，2)‎ 解析：选C．因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以00时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]，‎ 即a∈[－1，0)，故选D.‎ ‎6．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．‎ 解析：依题意得解得 令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0，‎ 该方程等价于①或② 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，‎ 因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.‎ 答案：3‎ ‎7．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________．‎ 解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，‎ 则f(x)在R上是增函数．‎ 当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，‎ f(1)·f(2)<0，‎ 即(5－k)(10－k)<0，‎ 解得5时，‎ 须使即 解得a≥1，‎ 所以a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B．(数形结合法)因为a>0，所以a2＋1>1.‎ 而y＝|x2－2x|的图象如图，‎ 所以y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．‎ ‎2．已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　)‎ A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0‎ C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定 解析：选C．在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象(图略)，‎ 由图象可知，当0＜x0＜a时，有2x0＜logx0，即f(x0)＜0.‎ ‎3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞b＞c D．c＞a＞b 解析：选B．f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B．‎ ‎4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝，则函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为________．‎ 解析：由题意知，当x＜0时，f(x)＝，作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令＝，解得x3＝，所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为.‎ 答案： ‎5．设函数f(x)＝(x>0)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(2)当0