【数学】2019届一轮复习北师大版几何体的表面积与体积学案 5页

‎ 从近几年的考试题 看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查 生的空间想象能力．预测2018年高考仍将以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查 生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．‎ ‎1 几何体的表面积 ‎ （1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎ （2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎ （3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． ]‎ 1.1 ‎ 多面体的表面积 例1【2018届湖南省常德市高三上 期期末】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（ ）[ ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎1.2旋转体的表面积 例2【2018届山西省吕梁市高三上 期第一次模拟】已知点在同一个球的球面上， ， ，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）[ ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件可知球心在侧棱中点，从而有垂直，可得，‎ 所以球的半径为，故球的表面积为.‎ ‎2 几何体的体积 ‎ 1. 求体积常见技巧 ‎ 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．‎ ‎ （1）几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．‎ ‎ （2）几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．[ ]‎ ‎ （3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素． ‎ ‎ 2.求体积常见方法 ‎ ①直接法（公式法）；②转移法 利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法 把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法 通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质 （ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.‎ ‎ 求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形 三棱锥三棱柱平行六面体；分割 三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1 2 ‎ ‎3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.‎ ‎ 3.常见的特殊几何体的性质 ‎2.1 几何体的体积 给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等积转换法和割补法求解．‎ 例3.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．[ ]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为.‎ ‎2.2关于球的切、接问题 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．‎ 例4【2018届陕西省西安市高三上 期期末】 三棱锥的三条侧棱， ， 两两垂直，且 ， ， ，则该三棱锥的外接球的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 以球的直径是，半径为，球的体积 = ．‎ 故选 A．‎ 例5【2018届河北省唐山市高三上 期期末】在三棱椎中，底面是等边三角形，侧面是直角三角形，且，当三棱椎表面积最大时，该三棱椎外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【反思提升】综合上面的两种种类型，我们可以概括出在解决几何体的表面积与体积问题中的方法与技巧 ‎ ‎1.几何体的侧面积和全面积 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图 进行． ‎ ‎2．求体积时应注意的几点 ‎ ‎ （1）求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．‎ ‎ （2）与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．‎ ‎3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．‎ ‎4.解答三视图问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎