【数学】宁夏贺兰县景博中学2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版） 11页

宁夏贺兰县景博中学2019-2020学年高一上学期期末考试 数学试题 满分150分，考试用时120分钟 卷I（选择题）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.过点且斜率为2的直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为直线过点且斜率为2，所以直线方程为：‎ ‎，化简得：.‎ 故选：D ‎2.直线（为实数）的倾斜角的大小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为直线方程为，所以斜率为：，‎ 设倾斜角为，所以，‎ 因为倾斜角的范围是 ，所以 .故选：A ‎3.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 函数y=在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 函数y=|x|在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 函数y=在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；‎ 故选D．‎ ‎4.已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ 　 ）‎ A. （1）（3）（4） B. （2）（4）（3） ‎ C. （1）（3）（2） D. （2）（4）（1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于几何体被切去一个角，‎ 所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；‎ 关键放置的位置得到C；‎ 故选：C.‎ ‎5.设m，n是两条不同直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是　　‎ A. ，且，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，且，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关 系应该是平行或异面或相交，故A不正确；‎ 对于B，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β＝l，所以B不成立．‎ 对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β＝l，‎ 也可能α⊥β，故C不正确；‎ 对于D，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，‎ 通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即 为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题D正确．‎ 故答案为D ‎6.在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示：‎ 在正方体中， ，‎ 所以是异面直线与所成的角，‎ 因为，‎ 所以异面直线与所成的角为.‎ 故选：B ‎7.已知两平行直线的斜率是方程的两实根，则的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎1 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】两直线平行、斜率相等，‎ 则方程有两个相等的实根，‎ 则，即，解得.‎ 故选：C ‎8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的体积为 A. B. ‎ C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体，垂直于等腰直角三角形所在平面，将其放在正方体中，易得该鳖臑的体积.‎ ‎9.已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，‎ 所以．‎ 即：，‎ 化简得：．‎ 故选．‎ ‎10.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在长方体中，连接，‎ 根据线面角的定义可知，‎ 因为，所以，从而求得，‎ 所以该长方体的体积为，故选C.‎ ‎11.若函数对都有恒成立，则实数 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由都有恒成立 当时，恒成立 当时，则 综上所述：‎ 故选：A ‎12.若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是 (　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以的中点轨迹为直线：，，‎ 因此到原点的距离的最小值是，选A.‎ 卷II（非选择题）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.直线和直线垂直，则实数的值为_________‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】由题意，则，解得.‎ 故答案为：-2‎ ‎14.已知函数，则_____________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数，‎ 则 故答案为：2‎ ‎15.长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，‎ 则球的表面积为.‎ ‎16.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．‎ 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，‎ 故直线的方程为，‎ 故答案为或．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.求经过直线l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y－3＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程.‎ ‎【答案】26x＋13y－47＝0‎ ‎【解析】解：由，得，‎ 由平行于2x＋y－3＝0，可得直线的斜率为－2，‎ ‎∴直线方程为，即26x＋13y－47＝0.‎ ‎18.在平面直角坐标系中，已知直线，若直线在轴上的截距为 ‎（1）求实数的值，并写出直线的斜截式方程；‎ ‎（2）求出点到直线的距离.‎ 解：（1）因为直线在x轴上的截距为-2，‎ 所以直线经过点(-2，0)，‎ 代入直线方程得‎-2a+2=0，解得a=1，‎ 所以直线的方程为x-3y+2=0，‎ 所以直线的斜截式方程为.‎ ‎（2）点M(3，1)到直线的距离，‎ 所以.‎ ‎19.已知是正方形，，将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，得到三棱锥，如图所示.‎ ‎（1）若点是棱的中点，求证：//平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ 解：（1）因为O，M分别是AB，BD的中点，连接OM，所以OM//AD，‎ 而OM平面ACD，平面ACD，‎ 所以OM//平面平面.‎ ‎（2）因为AB=AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，‎ 又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，平面ABD，‎ 所以平面.‎ ‎20.三角形的三个顶点为 求边上高所在直线的方程；‎ 求边上中线所在直线的方程.‎ 解：（1）由题意可得 则边上高所在直线的斜率为-3，又高线过 所以边上高所在直线的方程为，‎ 即 ‎(2)由题知中点M的坐标为 ‎，‎ 所以中线所在直线的方程为 即．‎ ‎21.‎ 如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.‎ ‎(1)求证:面；‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ 解：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可．设，连接EO，由三角形中位线可得即得；（2）连接PO，由题意得PO⊥AC，又底面为菱形，则AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．‎ 试题解析：（1）证明：设，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以 而，所以面 ‎　　‎ ‎（2）连接PO，因为，所以，又四边形是菱形，所以 而面，面，，所以面 又面，所以面面 ‎　　‎ ‎22.如图，梯形中，，四边形为正方形，且平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若与相交于点，那么在棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由.‎ 解：(1)证明：连接.因为在梯形中，，‎ ‎，又因为平面平面，平面平面平面平面，又因为 正方形中，且平面平面，又平面. ‎ ‎(2) 在棱上存在点，使得平面平面，且，证明如下：因为梯形中，，又，又因为正方形中，，且平面平面平面平面，又，且平面，所以平面平面.‎