【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第2章第1节函数及其表示学案 14页

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 本章在高考中一般为2～3个客观题．‎ ‎2.考查内容 高考中基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握．主要涉及函数奇偶性的判断，函数的图像，函数的奇偶性、单调性及周期性综合，指数、对数运算以及指数、对数函数的图像与性质，分段函数求函数值等．‎ ‎3.备考策略 ‎(1)重视函数的概念和基本性质的理解：深刻把握函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、零点等概念．研究函数的性质，注意分析函数解析式的特征，同时注意函数图像的作用．‎ ‎(2)重视对基本初等函数的研究，复习时通过选择、填空题加以训练和巩固，将问题和方法进行归纳整理.‎ 第一节　函数及其表示 ‎[最新考纲]‎ ‎　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．‎ ‎1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)和它对应 集合A与B存在着对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，集合B中总有唯一的元素y与之对应 名称 把对应关系f叫作定义在集合A上的函数 称这种对应为从集合A到集合B的映射 记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B ‎2．函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域：‎ 数集A叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．‎ ‎(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．‎ ‎(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．‎ ‎(4)函数的表示法：‎ 表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．‎ ‎3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．‎ 分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．‎ ‎1．常见函数的定义域 ‎(1)分式函数中分母不等于0.‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域为R.‎ ‎(4)零次幂的底数不能为0.‎ ‎(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．‎ ‎(7)y＝tan x的定义域为.‎ ‎2．基本初等函数的值域 ‎(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.‎ ‎(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为.‎ ‎(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．‎ ‎(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．‎ ‎(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)‎ ‎(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)‎ ‎(3)函数是一种特殊的映射．(　　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．(　　)‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ 二、教材改编 ‎1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)‎ ‎　 　A　　　B　　　 C　　 　　D B　[由函数定义可知，选项B正确．]‎ ‎2．函数y＝＋的定义域为(　　)‎ A.　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞)‎ C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)‎ C　[由题意知 解得x≥且x≠3.]‎ ‎3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)‎ A．y＝()2 B．y＝＋1‎ C．y＝＋1 D．y＝＋1‎ B　[y＝＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.]‎ ‎4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝________.‎ 　[f(3)＝，f(f(3))＝f＝2＋1＝＋1＝.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值为________．‎ ‎12　[由f(a)＝5得＝5，解得a＝12.]‎ 考点1　求函数的定义域 ‎　已知函数解析式求定义域 ‎　已知函数的具体解析式求定义域的方法 ‎(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．‎ ‎(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．‎ ‎　1.(2019·济南模拟)函数y＝ln(2－x)的定义域为(　　)‎ A．(0,2)　　　　　 B．[0,2)‎ C．(0,1] D．[0,2]‎ B　[由题意知，x≥0且2－x＞0，解得0≤x＜2，‎ 故其定义域是[0,2)．]‎ ‎2．函数f(x)＝的定义域为________．‎ ∪(2，＋∞)　[要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求函数的定义域是∪(2，＋∞)．]‎ ‎[逆向问题]　若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．‎ ‎－　[∵函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}．‎ ‎∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}．‎ 可知a＜0，不等式化为a(x－1)(x－2)≥0，‎ 即ax2－3ax＋‎2a≥0.‎ ‎∴即∴a＋b＝－.]‎ ‎　求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接．(如T2)‎ ‎　抽象函数的定义域 ‎　抽象函数的定义域的求法 ‎(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．‎ ‎(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．‎ ‎　已知函数f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．‎ ‎[1,3]　[由题意知 解得1≤x≤3.‎ 故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．]‎ ‎[逆向问题]　已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．‎ ‎[－1,2]　[因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]‎ ‎　函数f(g(x))的定义域为自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．(如本例[逆向问题])‎ ‎　1.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(　　)‎ A． B． C． D． A　[由题意可知解得∴－＜x＜1，故选A.]‎ ‎2．函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]，则函数g(x)＝的定义域为________．‎ ‎[－2,1)∪(1,2 018]　[∵函数f(x－1)的定义域为[0，2 020]，∴－1≤x－1≤2 019.‎ ‎∴要使函数g(x)有意义，则 解得－2≤x≤2 018且x≠1.‎ ‎∴函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]．]‎ ‎3．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．‎ ‎[－2,2]　[∵函数f(x)＝的定义域为R，‎ ‎∴a2－4≤0，即－2≤a≤2.]‎ 考点2　求函数的解析式 ‎　求函数解析式的4种方法及适用条件 ‎(1)待定系数法 先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．‎ ‎(2)换元法 对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．‎ ‎(3)配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．‎ ‎(4)解方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎ ‎　(1)[一题多解]已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；‎ ‎(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋‎2f(x)＝2x，求f(x)．‎ ‎[解]　(1)法一：(待定系数法)‎ 因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(‎4a＋2b)x＋a＋b＋c.‎ 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，‎ 所以解得 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．‎ 法二：(换元法)‎ 令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，‎ 所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，‎ 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．‎ 法三：(配凑法)‎ 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．‎ ‎(2)(解方程组法)‎ 由f(－x)＋‎2f(x)＝2x，①‎ 得f(x)＋‎2f(－x)＝2－x，②‎ ‎①×2－②，得‎3f(x)＝2x＋1－2－x，‎ 即f(x)＝.‎ 故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．‎ ‎　谨防求函数解析式的2种失误 ‎(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．‎ ‎(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．‎ 如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．‎ ‎　1.如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(　　)‎ A． B． C. D．－1‎ B　[(换元法)令＝t，得x＝(t≠0且t≠1)，‎ ‎∴f(t)＝＝(t≠0且t≠1)，‎ ‎∴f(x)＝(x≠0且x≠1)．]‎ ‎2．已知f＝＋，则f(x)＝(　　)‎ A．(x＋1)2 B．(x－1)2‎ C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1‎ C　[(配凑法)f＝＋＝2－＋1，所以f(x)＝x2－x＋1.]‎ ‎3．已知f(x)满足‎2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.‎ ‎2x－(x≠0)　[(解方程组法)∵‎2f(x)＋f＝3x，①‎ 把①中的x换成，得‎2f＋f(x)＝.②‎ 联立①②可得 解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．]‎ ‎4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，‎ 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，‎ 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，‎ 即ax2＋(‎2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，‎ 所以解得a＝b＝.‎ 所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．‎ 考点3　分段函数 ‎　求函数值 ‎　解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．‎ ‎　(1)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝‎ ‎(　　)‎ A．－　　 B．‎2　‎　 　‎ C．4　　 D．11‎ ‎(2)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)‎ A．－2 B．2 ‎ C．3 D．－3‎ ‎(1)C　(2)B　[(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.‎ ‎(2)由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①‎ f(－1)＝a－1＋b＝3，②‎ 联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1，‎ 所以f(x)＝ 则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.]‎ ‎　求分段函数的函数值的策略 ‎(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．‎ ‎(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．‎ ‎[教师备选例题]‎ 已知函数f(x)＝则f的值为(　　)‎ A．－1　 B．‎1　‎　　‎ C．　 D． B　[依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.故选B.]‎ ‎　求参数或自变量的值 ‎　解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．‎ ‎　(1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.‎ ‎(2)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.‎ ‎(1)－　(2)　[(1)当a≤1时，f(a)＝‎2a－2＝－3，无解；‎ 当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，‎ 解得a＝7，‎ 所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.‎ ‎(2)当a＞0时，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－‎2a2＋2＝2，得a＝(a＝0与a＝－舍去)．当a≤0时，f(a)＝a2＋‎2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋‎2a＋2)2＝2，此方程无解．故a＝.]‎ ‎　求解本题的关键是就a的取值讨论f(a)的情形，另本题也可作出f(x)的图像，数形结合求解，即f(a)＝0或f(a)＝－2，从而求得a的值．‎ ‎　分段函数与方程、不等式问题 ‎　解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图像比较容易画出，也可以画出函数图像后，结合图像求解．‎ ‎　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)