【数学】2019届一轮复习北师大版简单的逻辑联结词学案(1) 14页

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 板块一　知识梳理·自主学习 ‎ [必备知识]‎ 考点1　全称量词和存在量词 ‎1．全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．‎ ‎2．含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：∀x∈M，p(x)．‎ ‎3．含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．‎ 考点2　含有一个量词的命题的否定 ‎ [必会结论]‎ ‎1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判定 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎2．“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．‎ ‎3．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．‎ ‎[考点自测]‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　　)‎ ‎(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)‎ ‎(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)‎ A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1‎ B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1‎ C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1‎ D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1‎ 答案　B 解析　全称命题的否定是特称命题，选B项．‎ ‎3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)‎ A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案　B 解析　特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B项．‎ ‎4．[2018·重庆模拟]已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)‎ C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)‎ 答案　D 解析　依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x>1，x>1x>2，知“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧(綈q)是真命题，故选D.‎ ‎5．[课本改编]命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．a≥4 B．a≤4 ‎ C．a≥5 D．a≤5‎ 答案　C 解析　命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　含有逻辑联结词的命题的真假 例　1　[2017·山东高考]已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a20恒成立，‎ ‎∴p为真命题，綈p为假命题．‎ ‎∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，‎ ‎∴q为假命题，綈q为真命题．‎ 根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.‎ 触类旁通 ‎“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式；‎ ‎(2)判断其中命题p，q的真假；‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ ‎【变式训练1】　在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为(　　)‎ A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)‎ C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q 答案　A 解析　命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.‎ 考向　全称命题、特称命题 命题角度1　全称命题、特称命题的否定 例　2　[2016·浙江高考]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)‎ A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n0 B．∀x∈N，x2>0‎ C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1‎ 答案　B 解析　ex>0对∀x∈R恒成立，A为真；当x＝0时，x2>0不成立，B为假；存在01(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ 解　由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知00的解集为R，‎ 则解得a>.‎ 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ 所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，‎ 故或 解得a≥1或04.‎ 核心规律 ‎1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解．‎ ‎2.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．‎ ‎3.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”．‎ 满分策略 ‎1.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．‎ ‎2.命题的否定与否命题的区别 ‎“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.‎ 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列2——利用逻辑推理解决实际问题 ‎[2017·全国卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(　　)‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 解题视点　解决此题的关键是弄清实际问题的含义，结合数学的逻辑分析去判断真假．‎ 解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.‎ 答案　D 答题启示　在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．‎ 跟踪训练 a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．‎ 答案　c，a，b 解析　显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．‎ 由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.‎ 同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.‎ 故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·沈阳模拟]命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是(　　)‎ A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x∈Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q 答案　D 解析　该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．‎ ‎2．[2017·湖北武汉调研]命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是(　　)‎ A．∃x∈M，f(－x)＝－f(x)‎ B．∀x∈M，f(－x)≠－f(x)‎ C．∀x∈M，f(－x)＝－f(x)‎ D．∃x∈M，f(－x)≠－f(x)‎ 答案　D 解析　命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是∃x∈M，f(－x)≠－f(x)，故选D.‎ ‎3．[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)‎ A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉Q 答案　B 解析　因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.‎ ‎4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)‎ A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0‎ C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，>2‎ 答案　B 解析　当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题．‎ ‎5．[2018·湖南模拟]已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)‎ A．①③ B．①④ ‎ C．②③ D．②④‎ 答案　C 解析　当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．‎ 当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．‎ 由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.‎ ‎6．[2018·浙江模拟]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)‎ A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0‎ D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0‎ 答案　D 解析　全称命题的否定是特称命题．选D项．‎ ‎7．下列说法正确的是(　　)‎ A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”‎ B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件 C．命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”‎ D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题 答案　B 解析　命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错误；ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件，B正确；命题“∃x0∈R，x＋x0＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，C错误；若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，D错误．综上所述，故选B.‎ ‎8．已知p：>0，则綈p对应的x的集合为________．‎ 答案　{x|－1≤x≤2}‎ 解析　∵p：>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.‎ ‎9．[2018·河南模拟]若命题“∃x0∈R，使得x＋ax0＋a＋3<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　－2≤a≤6‎ 解析　由命题“∃x0∈R，使得x＋ax0＋a＋3<0”为假命题，得命题“∀x∈R，都有x2＋ax＋a＋3≥0”为真命题，则Δ＝a2－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6.‎ ‎10．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：‎ 甲：中国非第一名，也非第二名；‎ 乙：中国非第一名，而是第三名；‎ 丙：中国非第三名，而是第一名．‎ 竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．‎ 答案　一 解析　由题可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·青岛模拟]下列命题中，是真命题的是(　　)‎ A．∃x0∈R，ex≤0‎ B．∀x∈R,2x>x2‎ C．已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是＝－1‎ D．已知a，b为实数，则a>1，b>1是ab>1的充分条件 答案　D 解析　对于A，对任意x∈R，ex>0，所以A为假命题；对于B，当x＝2时，有2x＝x2，所以B为假命题；对于C，＝－1的充要条件为a＋b＝0且b≠0，所以C为假命题；对于D，当a>1，b>1时，显然有ab>1，充分性成立，当a＝4，b＝时，满足ab>1，但此时a>1，b<1，必要性不成立，所以“a>1，b>1”是“ab>1”的充分不必要条件，所以D为真命题．故选D.‎ ‎2．已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p是假命题 B．q是真命题 C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题 答案　C 解析　p：∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴p为真命题．‎ q：当x>0时，2x>1，∴q为假命题．‎ ‎∴p∧(綈q)是真命题．故选C.‎ ‎3．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(1,2)‎ 解析　由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－21.所以所求的m的取值范围是10恒成立，q：函数y＝3x－a在x∈[0,2]上有零点，如果(綈p)∧q为假命题，綈q为假命题，求a的取值范围．‎ 解　若p为真命题，则有或a＝0，即0≤a<4，故当p为真命题时，0≤a<4.‎ 若q为真命题时，方程3x－a＝0在x∈[0,2]上有根．‎ ‎∵当x∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a≤9，‎ 即当q为真命题时，1≤a≤9.‎ ‎∵(綈p)∧q为假命题，∴綈p，q中至少有一个为假命题．‎ 又∵綈q为假命题，∴q为真命题．‎ ‎∴綈p为假命题，p为真命题．‎ ‎∴当p，q都为真时，即1≤a<4.‎ 故所求a的取值范围是[1,4)．‎ ‎5．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m 恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．‎ ‎(1)若p为真命题，求m的取值范围；‎ ‎(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．‎ 解　(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.‎ 因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．‎ ‎(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，‎ ‎∴m≤x，命题q为真时，m≤1.‎ ‎∵p且q为假，p或q为真，‎ ‎∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．‎ 当p真q假时，则解得1