【数学】2019届一轮复习苏教版第1章集合与常用逻辑用语第2讲学案 11页

第2讲　四种命题和充要条件 考试要求　1.命题的概念，命题的四种形式及相互关系(A级要求)；2.充分条件、必要条件、充要条件的含义(B级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(　　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)‎ ‎(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)‎ 解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(课本习题改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________.‎ 解析　原命题的结论和条件互换得逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.‎ 答案　若一个数的平方是正数，则它是负数.‎ ‎3.(课本习题改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件.‎ 解析　a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分而不必要条件.‎ 答案　充分而不必要 ‎4.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________.‎ 解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.‎ 答案　2‎ ‎5.(2018·无锡模拟)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件.‎ 解析　设f(x)＝x|x|，则f(x)＝ 所以f(x)是R上的增函数，‎ 所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.‎ 答案　充要 知 识 梳 理 ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).‎ 考点一　四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”‎ 的逆否命题及其真假性为________.‎ ‎(2)(2017·课标全国Ⅰ理改编)设有下面四个命题：‎ p1：若复数 满足∈R，则 ∈R；‎ p2：若复数 满足 2∈R，则 ∈R；‎ p3：若复数 1， 2满足 1 2∈R，则 1＝2；‎ p4：若复数 ∈R，则∈R.‎ 其中的真命题为________.‎ 解析　(1)根据逆否命题的定义可知逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.‎ ‎(2)对于命题p1：设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝∈R，得b＝0，则 ∈R成立，故命题p1正确；对于命题p2，设 ＝a＋bi(a，b∈R)，由 2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得a·b＝0，则a＝0或b＝0，复数 可能为实数或纯虚数，故命题p2错误；对于命题p3，设 1＝a＋bi(a，b∈R)， 2＝c＋di(c，d∈R)，由 1· 2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有 1＝2，故命题p3错误；对于命题p4，设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则由 ∈R，得b＝0，所以＝a∈R成立，故命题p4正确.‎ 答案　(1)“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题 ‎(2)p1，p4‎ 规律方法　(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·扬州模拟)下列命题：‎ ‎①若“a21，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是________(填序号).‎ ‎(2)(2018·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________.‎ 解析　(1)对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝‎ ‎－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.‎ ‎(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.‎ 答案　(1)③④　(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3‎ 考点二　充分条件与必要条件的判定 ‎【例2】 (1)(2018·南京 情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).‎ ‎(2)(2018·泰州模拟)给出下列三个命题：‎ ‎①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；‎ ‎②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α”是“ln a>ln b”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).‎ 解析　由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立.‎ 当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.‎ 答案　必要不充分 ‎2.(2018·江苏六校联考)已知函数y＝ln(x－4)的定义域为A，集合B＝{x|x>a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　由题意得x－4>0，则x>4，所以A＝{x|x>4}，因为集合B＝{x|x>a}，x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以a<4.‎ 答案　(－∞，4)‎ ‎3.(2017·泰州中 质检)设实数a>1，b>1，则“aa－b”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).‎ 解析　ln a－ln b>a－b，则ln a－a>ln b－b，构造函数f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝，当x>1时，f′(x)<0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴1f(b)，即1a－b，‎ 故“aa－b”的充要条件.‎ 答案　充要 ‎4.(2018·扬州中 月考)函数f(x)＝＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既非充分又非必要”).‎ 解析　f(x)＝＋a(x≠0)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，即＋a＋＋a＝0，所以a＝，此时f(1)＝＋＝1，反之也成立.因此填“充要”.‎ 答案　充要 ‎5.已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________(填序号).‎ ‎①否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题.‎ 解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.‎ 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，‎ ‎＋∞)上不是增函数”是真命题.‎ 答案　④‎ ‎6.(2017·苏北四市联考)已知m∈R，则“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).‎ 解析　由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.‎ 由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以00，故当q<0时，a2n－1＋a2n未必小于0，故充分性不成立；当a2n－1＋a2n<0时，a1q2n－2(1＋q)<0，又a1>0，所以q<－1<0，故必要性成立，故填必要不充分.‎ 答案　必要不充分 ‎9.(2018·盐城期中)设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}.‎ ‎(1)若a＝3，求A∪B；‎ ‎(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)解不等式x2＋2x－3<0，‎ 得－3b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.‎ 解析　答案不唯一，如a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c.‎ 答案　－1，－2，－3(答案不唯一)‎ ‎12.已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1).求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.‎ 证明　充分性：当q＝－1时，a1＝p－1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，‎ 当n＝1时也成立.‎ ‎∴an＝pn－1(p－1)，n∈N*.‎ 又＝＝p，‎ ‎∴数列{an}为等比数列.‎ 必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1).‎ ‎∵p≠0，且p≠1，{an}为等比数列，‎ ‎∴＝＝p.‎ ‎∴＝p，即p－1＝p＋q，∴q＝－1.‎ 综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件.‎