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- 2021-06-16 发布
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第六节 数学归纳法
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(对应学生用书第104页)
[基础知识填充]
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)验证:当n取第一个值n0(如n0=1或2)时,命题成立.
(2)在假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示
图611
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )
(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( )
(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…-=2时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )
A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立
C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立
B [k为偶数,则k+2为偶数.]
3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.0
C [因为凸n边形最小为三角形,所以第一步检验n等于3,故选C.]
4.(教材改编)已知{an}满足an+1=a-nan+1,n∈N+,且a1=2,则a2=__________,a3=__________,a4=__________,猜想an=__________.
[答案] 3 4 5 n+1
5.用数学归纳法证明:“1+++…+1)”由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项的项数是__________.
2k [当n=k时,不等式为1+++…+0.
当n=1时,x1=1>0.
假设n=k时,xk>0,
那么n=k+1时,
若xk+1≤0,则00.
因此xn>0(n∈N+).
所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.
因此0