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- 2021-06-16 发布
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第3讲 大题考法——解三角形
考向一 正、余弦定理的基本应用
【典例】 (2018·南充联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2bcos A.
(1)若a=2,b=3,求边c;
(2)若C=,求角B.
解 (1)由c-b=2bcos A及余弦定理cos A=,
得=,
所以a2=b2+bc,所以(2)2=32+3c,解得c=5.
(2)因为c-b=2bcos A,
所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A.
因为C=,所以1-sin B=2sin Bcos A,
所以1-sin B=2sin Bcos,
即1-sin B=2sin2B,所以(2sin B-1)(sin B+1)=0,
所以sin B=或sin B=-1(舍去),
因为0<B<,所以B=.
[技法总结] 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
[变式提升]
1.(2018·揭阳三诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C+(c-3b)cos A=0.
(1)求tan A的值;
(2)若△ABC的面积为,且b-c=2,求a的值.
解 (1)∵acos C+(c-3b)cos A=0,
∴sin Acos C+(sin C-3sin B)cos A=0,
即sin Acos C+sin Ccos A=3sin Bcos A⇒cos A=,
∴tan A=2.
(2)S=bcsin A=bc·=⇒bc=3,
a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-bc=4+×3=8⇒a=2.
2.(2018·宣城二调)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c2=4absin2C.
(1)求sin A·sin B;
(2)若A=,a=3,求c的大小.
解 (1)∵c2=4absin2C,
∴由正弦定理,得sin2C=4sin A·sin B·sin2C,
又△ABC中,sin C≠0,∴sin A·sin B=.
(2)A=时,sin A=,又sin A·sin B=,∴sin B=,又A+B<π,B∈(0,π),∴B=,
∴a=b=3,C=π-A-B=,
∴c2=a2+b2-2abcos C=27,∴c=3.
考向二 与三角形面积有关的问题
【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1);
(2)若a+c=6,,求b.
[审题指导]
①看到三角恒等式,想到三角恒等变换公式,遇平方要降次
②看到求cos B,想到条件中A+C化为B后,恒等变换可求
③看到三角形面积,想到恰当的选择相应的三角形面积公式
[规范解答] (1)由题设及A+B+C=π得
sin B=8sin2 , 2分
即sin B=4(1-cos B)❶, 3分
故17cos2B-32cos B+15=0, 4分
解得cos B=,cos B=1(舍去)❷. 6分
(2)由cos B=,得sin B=, 7分
故S△ABC=acsin B=ac❸. 8分
又S△ABC=2,则ac=. 9分
由余弦定理及a+c=6得
b2=a2+c2-2accos B
=(a+c)2-2ac❹(1+cos B) 10分
=36-2××
=4. 11分
所以b=2. 12分
❶处利用倍角公式时,易把sin2=记为sin2=,导致化简结果错误.
❷处根据三角形中内角的范围舍去cos B=1易忽视.
❸处关键是利用(1)的结论,结合平方关系求出sin B,由此明确面积公式的选择.
❹处若出现a+c及ac,则注意余弦定理中配方法的使用,以及整体思想的运用.
[技法总结] 与三角形面积有关的问题的解题模型
[变式提升]
3.(2018·永州三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A+sin 2(B+C)=0.
(1)求A的值;
(2)若|b-c|=,△ABC的面积为,求a的值.
解 (1)∵cos A+sin 2(B+C)=0,
∴cos A+sin 2(π-A)=cos A-sin 2A=0.
∴cos A-2sin Acos A=0.
又△ABC为锐角三角形,
∴cos A≠0,sin A=.∴A=60°.
(2)由S△ABC=bcsin A=bc·=,得bc=4,
∵|b-c|2=b2+c2-2bc=5,
∴b2+c2=13.
∴a2=b2+c2-2bccos A=13-2×4×=9.即a=3.
4.(2018·榆林三诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=acos B.
(1)求B;
(2)若b=,c=2,a>b求△ABC的面积.
解 (1)因为=acos B,
所以sin A=sin Acos B,
而sin A≠0,故cos B=,
所以B=.
(2)由b2=a2+c2-2accos B,得7=12+a2-2×2a×,化简得a2-6a+5=0,解得a=5,或a=1(舍去),
所以S△ABC=acsin B=.