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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版解三角形学案

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第3讲 大题考法——解三角形 考向一 正、余弦定理的基本应用 ‎【典例】 (2018·南充联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2bcos A.‎ ‎(1)若a=2,b=3,求边c;‎ ‎(2)若C=,求角B.‎ 解 (1)由c-b=2bcos A及余弦定理cos A=,‎ 得=,‎ 所以a2=b2+bc,所以(2)2=32+‎3c,解得c=5.‎ ‎(2)因为c-b=2bcos A,‎ 所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A.‎ 因为C=,所以1-sin B=2sin Bcos A,‎ 所以1-sin B=2sin Bcos,‎ 即1-sin B=2sin2B,所以(2sin B-1)(sin B+1)=0,‎ 所以sin B=或sin B=-1(舍去),‎ 因为0<B<,所以B=.‎ ‎[技法总结] 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 ‎[变式提升]‎ ‎1.(2018·揭阳三诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acos C+(c-3b)cos A=0.‎ ‎(1)求tan A的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积为,且b-c=2,求a的值.‎ 解 (1)∵acos C+(c-3b)cos A=0,‎ ‎∴sin Acos C+(sin C-3sin B)cos A=0,‎ 即sin Acos C+sin Ccos A=3sin Bcos A⇒cos A=,‎ ‎∴tan A=2.‎ ‎(2)S=bcsin A=bc·=⇒bc=3,‎ a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-bc=4+×3=8⇒a=2.‎ ‎2.(2018·宣城二调)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c2=4absin‎2C.‎ ‎(1)求sin A·sin B;‎ ‎(2)若A=,a=3,求c的大小.‎ 解 (1)∵c2=4absin‎2C,‎ ‎∴由正弦定理,得sin‎2C=4sin A·sin B·sin‎2C,‎ 又△ABC中,sin C≠0,∴sin A·sin B=.‎ ‎(2)A=时,sin A=,又sin A·sin B=,∴sin B=,又A+B<π,B∈(0,π),∴B=,‎ ‎∴a=b=3,C=π-A-B=,‎ ‎∴c2=a2+b2-2abcos C=27,∴c=3.‎ 考向二 与三角形面积有关的问题 ‎【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ‎(1);‎ ‎(2)若a+c=6,,求b.‎ ‎[审题指导]‎ ‎①看到三角恒等式,想到三角恒等变换公式,遇平方要降次 ‎②看到求cos B,想到条件中A+C化为B后,恒等变换可求 ‎③看到三角形面积,想到恰当的选择相应的三角形面积公式 ‎[规范解答] (1)由题设及A+B+C=π得 sin B=8sin2 , 2分 即sin B=4(1-cos B)❶, 3分 故17cos2B-32cos B+15=0, 4分 解得cos B=,cos B=1(舍去)❷. 6分 ‎(2)由cos B=,得sin B=, 7分 故S△ABC=acsin B=ac❸. 8分 又S△ABC=2,则ac=. 9分 由余弦定理及a+c=6得 b2=a2+c2-2accos B ‎=(a+c)2-‎2ac❹(1+cos B) 10分 ‎=36-2×× ‎=4. 11分 所以b=2. 12分 ‎❶处利用倍角公式时,易把sin2=记为sin2=,导致化简结果错误.‎ ‎❷处根据三角形中内角的范围舍去cos B=1易忽视.‎ ‎❸处关键是利用(1)的结论,结合平方关系求出sin B,由此明确面积公式的选择.‎ ‎❹处若出现a+c及ac,则注意余弦定理中配方法的使用,以及整体思想的运用.‎ ‎[技法总结] 与三角形面积有关的问题的解题模型 ‎[变式提升]‎ ‎3.(2018·永州三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A+sin 2(B+C)=0.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若|b-c|=,△ABC的面积为,求a的值.‎ 解 (1)∵cos A+sin 2(B+C)=0,‎ ‎∴cos A+sin 2(π-A)=cos A-sin ‎2A=0.‎ ‎∴cos A-2sin Acos A=0.‎ 又△ABC为锐角三角形,‎ ‎∴cos A≠0,sin A=.∴A=60°.‎ ‎(2)由S△ABC=bcsin A=bc·=,得bc=4,‎ ‎∵|b-c|2=b2+c2-2bc=5,‎ ‎∴b2+c2=13.‎ ‎∴a2=b2+c2-2bccos A=13-2×4×=9.即a=3.‎ ‎4.(2018·榆林三诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=acos B.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若b=,c=2,a>b求△ABC的面积.‎ 解 (1)因为=acos B,‎ 所以sin A=sin Acos B,‎ 而sin A≠0,故cos B=,‎ 所以B=.‎ ‎(2)由b2=a2+c2-2accos B,得7=12+a2-2×‎2‎a×,化简得a2-‎6a+5=0,解得a=5,或a=1(舍去),‎ 所以S△ABC=acsin B=.‎