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- 2021-06-16 发布
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北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.不等式解集是( )
A. B.
C. 或 D.
【答案】B
【解析】根据题意,可以变形为(x+1)(x﹣2)≤0且x﹣2≠0,
解得﹣1≤x<2,即不等式的解集为{x|﹣1≤x<2},
故选:B
2.设等差数列的前n项和,若,则( )
A. 13 B. 14 C. 26 D. 52
【答案】C
【解析】在等差数列{an}中,由a4+a10=4,得2a7=4,即a7=2.
∴S13=.
故选:C.
3.在中,若,则的形状是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 不能确定
【答案】A
【解析】因为在中,满足,
由正弦定理知,代入上式得,
又由余弦定理可得,因为C是三角形的内角,所以,
所以为钝角三角形,故选A.
4.已知直线的方程为,直线的方程为,则直线和的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵已知直线l1的方程为3x+4y﹣7=0,直线l2的方程为3x+4y+1=0,
则直线l1和l2的距离为d==,
故选:A.
5.设某直线的斜率为k,且,则该直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线l的斜率为k,倾斜角为,若k∈(﹣,),
所以﹣<tan<所以.
故选:D
6.对于直线和平面,能得出的一组条件是( )
A. ,, B. ,,
C. ,, D. ,,
【答案】C
【解析】A选项中,根据,,,得到或,所以A错误;
B选项中,,,,不一定得到,所以B错误;
C选项中,因为,,所以.
又,从而得到,所以C正确;
D选项中,根据,,所以,而,所以得到,所以D错误.
故选:C.
7.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下四个命题:①平面ADNE;②平面ABFE;③平面平面AFN;④平面平面NCF.其中正确命题的序号是( )
A. ②③ B. ①②③
C. ②③④ D. ①②③④
【答案】A
【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD﹣EFMN,如图1所示;
对于①,平面BCMF∥平面ADNE,BM⊂平面BCMF,
∴BM∥平面ADNE,①错误;
对于②,平面DCMN∥平面ABFE,CN⊂平面DCMN,
∴CN∥平面ABFE,②正确;
对于③,如图2所示,
BD∥FN,BD⊄平面AFN,FN⊂平面AFN,
∴BD∥平面AFN;
同理BM∥平面AFN,且BD∩BM=B,
∴平面BDM∥平面AFN,③正确;
对于④,如图3所示,同③可得平面BDE∥平面NCF,④错误.
综上,正确的命题序号是②③.
故选:A
8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC,如图是长方体的一部分,
由三视图的数据,AB=BC=2,P到底面的距离为1,
∴该几何体的体积:V==.
故选:B.
9.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
【答案】C
【解析】根据正六边形的性质,则D1﹣A1ABB1,D1﹣A1AFF1满足题意,
而C1,E1,C,D,E,和D1一样,有2×4=8,
当A1ACC1为底面矩形,有4个满足题意,
当A1AEE1为底面矩形,有4个满足题意,
故有8+4+4=16
故选:D.
10.如图,四棱锥中,底面是边长为的正方形ABCD,AC与BD的交点为O,平面ABCD且,E是边BC的中点,动点P在四棱锥表面上运动,并且总保持,则动点P的轨迹的周长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分别取CD、SC的中点F、G,连接EF、FG和EG,如图所示;
则EF∥BD,EF⊄平面BDS,BD ⊂平面BDS
∴EF∥平面BDS
同理FG∥平面BDS
又EF∩FG=F,EF ⊂平面EFG,FG ⊂平面EFG,,
∴平面EFG∥平面BDS,
由AC⊥BD,AC⊥SO,且AC∩SO=O,
则AC⊥平面BDS,
∴AC⊥平面EFG,
∴点P在△EFG的三条边上;
又EF=BD=××=1,
FG=EG=SB=×=,
∴△EFG的周长为EF+2FG=1+
故选:D.
二、填空题共6小题.
11.直线的斜率为________.
【答案】
【解析】直线l:xcos﹣y+1=0,即为直线l:x﹣y+1=0,即为y=x+1,
故直线的斜率为,
故答案为:.
12.设等比数列满足,,则________.
【答案】64
【解析】设公比为q,∵a2=4,a3a4=128,
∴4q×4q2=128,
∴q3=8,
∴q=2,
∴a6=a2q4=4×24=64,
故答案为:64.
13.若,,,一定有,成立,请将猜想结果填空:________.
【答案】
【解析】由a>0,b>0,a+b=1,
一定有ab+≥4+,(ab)2+()2≥42+成立,
可以猜想:,
故答案为:.
14.如图,在长方体中,,,,M为AB的中点,点P在线段上,点P到直线的距离的最小值为________.
【答案】
【解析】连接MC,由BB'∥CC',BB'⊄平面MCC',CC'⊂平面MCC',
可得BB'∥平面MCC',
由点P到直线BB'的距离的最小值为异面直线BB'和直线C'M的距离,
即有直线BB'和平面MCC'的距离即为异面直线BB'和MC'的距离,
也即B到平面MCC'的距离,
过B在底面AC内作BH⊥MC,
由CC'⊥底面AC,可得CC'⊥BH,
即有BH⊥平面MCC',
由BC=BM=1,且BC⊥BA,可得BH=.
故答案为:.
15.已知中,点,,.则的面积为________.
【答案】10
【解析】由两点式的直线BC的方程为=,即为x+2y﹣8=0,
由点A到直线的距离公式得BC边上的高d==,
BC两点之间的距离为=4,
∴△ABC的面积为×4×=10,
故答案为:10.
16.已知,两点,满足:,,,
则的最大值为________.
【答案】
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),=(x1,y1),=(x2,y2),
由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,
可得A,B两点在圆x2+y2=1上,
且=1×1×cos∠AOB=,
即有∠AOB=60°,
即三角形OAB为等边三角形,AB=1,
的几何意义为点A,B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,
显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,
可设AB:x+y+t=0,(t>0),
由圆心O到直线AB的距离d=,
可得2=1,解得t=,
即有两平行线的距离为=,
即的最大值为,
故答案为:.
三、解答题共4小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.等比数列中,,.
(1)求的通项公式;
(2)记为的前n项和.若,求m.
解:(1)∵等比数列{an}中,a2=2,a7=8a4.
∴2×q5=8×(2×q2),
解得q=2,
当q=2时,an=2n﹣1,
∴{an}的通项公式为,an=2n﹣1,
(2)记Sn为{an}的前n项和,a2=2,q=2,
则a1=1,
则Sn==2n﹣1,
由Sm=63,得Sm=2m﹣1=63,m∈N,
解得m=6.
18.设的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且,.
(1)当时,求a的值;
(2)当的面积为3时,求的值.
解:(1)∵,∴,
由正弦定理可知:,
∵A=30°,∴sinA=sin30°=,
∴;
(2)∵,△ABC的面积为3,
∴,∴ac=10,
由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,
∴,即a2+c2=25,
则(a+c)2=a2+c2+2ac=25+20=45,
故.
19.如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,且,.四边形ABCD满足,,.E为侧棱PB的中点,F为侧棱PC上的任意一点.
(1)若F为PC的中点,求证:平面PAD;
(2)求证:平面平面PAB;
(3)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为E,F分别为侧棱PB,PC的中点,
所以,因为,
所以,而平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD;
(2)因为平面平面PAC,平面平面,
且,平面PAC,
所以平面ABCD,又平面ABCD,所以.
又因为,,所以平面PAB,
而平面AFD,所以平面平面PAB;
(3)在棱PC上显然存在点F使得.
由已知,,,,.
由平面几何知识可得.
由(2)知,平面ABCD,所以,
因为,所以平面PAC.
而平面PAC,所以.
又因为,所以平面PCD.
在中,,,,
可求得,,.
可见直线与平面PCD能够垂直,此时线段PF的长为.
20.如图,的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为,直线CD交AB于点,交x轴于点.
(1)求直线CD的方程;
(2)动点P在x轴上从点出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t.
①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.
解:(1)直线CD过点C(12,0),D(6,3),直线方程为=,
化为一般形式是x+2y﹣12=0;
(2)①如图1中,作DP∥OB,则∠PDA=∠B,
由DP∥OB得,=,即=,∴PA=;
∴OP=6﹣=,∴点P(,0);
根据对称性知,当AP=AP′时,P′(,0),
∴满足条件的点P坐标为(,0)或(,0);
②如图2中,当OP=OB=10时,作PQ∥OB交CD于Q,
则直线OB的解析式为y=x,
直线PQ的解析式为y=x+,
由,解得,∴Q(﹣4,8);
∴PQ==10,
∴PQ=OB,∴四边形OPQB是平行四边形,
又OP=OB,∴平行四边形OPQB是菱形;
此时点M与点P重合,且t=0;
如图3,当OQ=OB时,设Q(m,﹣m+6),
则有m2+=102,
解得m=;
∴点Q的横坐标为或;
设M的横坐标为a,
则=或=,
解得a=或a=;
又点P是从点(﹣10,0)开始运动,
则满足条件的t的值为或;
如图4,当Q点与C点重合时,M点的横坐标为6,此时t=16;
综上,满足条件的t值为0,或16,或或.