【数学】2018届一轮复习苏教版4-2同角三角函数基本关系及诱导公式教案（江苏专用） 13页

‎4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.‎ ‎(2)商数关系：＝tan α.‎ ‎2.各角的终边与角α的终边的关系 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α 图示 与角α终边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 角 π－α －α ＋α 图示 与角α终边的关系 关于y轴对称 关于直线y＝x对称 ‎3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎－cos α sin α ‎－sin α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变符号看象限 ‎【知识拓展】‎ ‎1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.‎ ‎2.同角三角函数基本关系式的常用变形 ‎(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；‎ ‎(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；‎ ‎(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)‎ ‎(2)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　×　)‎ ‎(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　×　)‎ ‎(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(　√　)‎ ‎1.(2015·福建改编)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为 .‎ 答案　－ 解析　∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，‎ ‎∴tan α＝＝－.‎ ‎2.(教材改编)已知cos θ＝，且＜θ＜2π，那么tan θ的值为 .‎ 答案　－ 解析　因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0，‎ sin θ＝－＝－，所以tan θ＝＝－.‎ ‎3.(2016·连云港模拟)计算：sin π＋cos π＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　∵sin π＝sin(π＋π)＝－sin ＝－，‎ cos π＝cos(2π＋)＝cos ＝－，‎ ‎∴sin π＋cos π＝－1.‎ ‎4.(教材改编)已知tan α＝1，则＝ .‎ 答案　 解析　原式＝＝＝.‎ ‎5.(教材改编)化简： ‎＋＝ .‎ 答案　1‎ 解析　因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，‎ sin(－α)＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α，‎ cos(α－)＝cos(α＋)＝－sin α，‎ sin(＋α)＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，‎ 所以原式＝＋ ‎＝－ ‎＝ ‎＝＝1.‎ 题型一　同角三角函数关系式的应用 例1　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为 .‎ ‎(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝ .‎ 答案　(1)　(2)－ 解析　(1)∵＜α＜，‎ ‎∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α，‎ ‎∴cos α－sin α＞0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，‎ ‎∴cos α－sin α＝.‎ ‎(2)由得 ‎5cos2θ－cos θ－＝0，解得cos θ＝或－.‎ 因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－，‎ 从而sin θ＝－，所以sin θ＋cos θ＝－.‎ 思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.‎ ‎　已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝ .‎ 答案　－1‎ 解析　由 消去sin α得2cos2α＋2cos α＋1＝0，‎ 即(cos α＋1)2＝0，‎ ‎∴cos α＝－.‎ 又α∈(0，π)，‎ ‎∴α＝，‎ ‎∴tan α＝tan＝－1.‎ 题型二　诱导公式的应用 例2　(1)(2016·宿迁模拟)已知f(x)＝‎ ，则f(－)＝ .‎ ‎(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是 .‎ 答案　(1)－1　(2){2，－2}‎ 解析　(1)f(x)＝＝－tan2x，‎ f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.‎ ‎(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；‎ 当k为奇数时，A＝－＝－2.‎ ‎∴A的值构成的集合是{2，－2}.‎ 思维升华　(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.‎ ‎②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.‎ ‎　(1)化简：＝ .‎ ‎(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则 的值为 .‎ 答案　(1)－1　(2)－ 解析　(1)原式＝ ‎＝＝ ‎＝－＝－·＝－1.‎ ‎(2)原式＝＝tan α，‎ 根据三角函数的定义得tan α＝－.‎ 题型三　同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例3　(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 .‎ 答案　 解析　2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化简为 ‎－2tan α＋3sin β＋5＝0， ①‎ tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0. ②‎ 由①②消去sin β，解得tan α＝3.‎ 又α为锐角，根据sin2α＋cos2α＝1，‎ 解得sin α＝.‎ ‎(2)已知－π0，‎ ‎∴cos x>0，sin x－cos x<0，‎ 故sin x－cos x＝－.‎ ‎②＝ ‎＝ ‎＝＝－.‎ 引申探究 本题(2)中，若将条件“－π0，cos x<0，‎ ‎∴sin x－cos x>0，‎ 又(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，‎ 故sin x－cos x＝.‎ 思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.‎ ‎　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，‎ 求的值.‎ 解　由于方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，‎ 所以sin α＝－，‎ 再由sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±＝±，‎ 所以tan α＝±，‎ 所以原式＝ ‎＝tan α＝±.‎ ‎7.分类讨论思想在三角函数中的应用 典例　(1)已知sin α＝，则tan(α＋π)＋＝ .‎ ‎(2)已知k∈Z，化简：＝ .‎ 思想方法指导　(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.‎ ‎(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论.‎ 解析　(1)∵sin α＝＞0，∴α为第一或第二象限角.‎ tan(α＋π)＋＝tan α＋ ‎＝＋＝.‎ ‎①当α是第一象限角时，cos α＝＝，‎ 原式＝＝.‎ ‎②当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，‎ 原式＝＝－.‎ 综合①②知，原式＝或－.‎ ‎(2)当k＝2n(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1.‎ 综上，原式＝－1.‎ 答案　(1)或－　(2)－1‎ ‎1.(2016·盐城模拟)已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值为 .‎ 答案　 解析　∵α∈(0，π)，‎ ‎∴sin α＝ ＝ ＝，‎ 由tan α＝，得tan α＝.‎ ‎2.已知cos α＝，且－＜α＜0，‎ 则＝ .‎ 答案　－2 解析　原式＝＝tan α，‎ ‎∵cos α＝，－<α<0，∴sin α＝－＝－，‎ ‎∴tan α＝＝－2.‎ ‎3.若角α的终边落在第三象限，则＋的值为 .‎ 答案　－3‎ 解析　由角α的终边落在第三象限，‎ 得sin α＜0，cos α＜0，‎ 故原式＝＋＝＋＝－1－2‎ ‎＝－3.‎ ‎4.若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α的值为 .‎ 答案　－ 解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝＝＝－.‎ ‎5.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为 .‎ 答案　－3‎ 解析　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝3，‎ ‎∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)‎ ‎＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)‎ ‎＝－asin α－bcos β ‎＝－3.‎ ‎ 6.(2016·扬州模拟)若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为 .‎ 答案　1－ 解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，‎ 又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，‎ 解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，‎ ‎∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.‎ ‎7.已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝ .‎ 答案　－ 解析　因为α为钝角，所以cos(＋α)＝－，‎ 所以sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－.‎ ‎8.(2016·江苏如东高级中学期中)若sin α＝2cos α，则sin2α＋2cos2α的值为 .‎ 答案　 解析　由sin α＝2cos α，得tan α＝2，‎ 因此sin2α＋2cos2α＝ ‎＝＝＝.‎ ‎9.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝ .‎ 答案　2‎ 解析　由题意可得tan θ＝2，‎ 原式＝＝＝2.‎ ‎10.(2016·无锡模拟)已知α为第二象限角，则 cos α＋sin α ＝ .‎ 答案　0‎ 解析　原式＝cos α ＋sin α ‎＝cos α＋sin α，‎ 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，‎ 所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0.‎ ‎11.已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)sin2α＋sin 2α.‎ 解　由已知得sin α＝2cos α.‎ ‎(1)原式＝＝－.‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝.‎ ‎12.已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.‎ ‎(1)求sin Acos A的值；‎ ‎(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；‎ ‎(3)求tan A的值.‎ 解　(1)∵(sin A＋cos A)2＝，‎ ‎∴1＋2sin Acos A＝，‎ ‎∴sin Acos A＝－.‎ ‎(2)∵sin Acos A<0，‎ 又00，‎ ‎∴sin A－cos A＝，‎ ‎∴sin A＝，cos A＝－，‎ 故tan A＝－.‎ ‎13.已知f(x)＝(n∈Z).‎ ‎(1)化简f(x)的表达式；‎ ‎(2)求f()＋f()的值.‎ 解　(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，‎ f(x)＝ ‎＝＝ ‎＝sin2x；‎ 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，‎ f(x)＝ ‎＝ ‎＝＝＝sin2x，‎ 综上得f(x)＝sin2x.‎ ‎(2)由(1)得f()＋f()‎ ‎＝sin2＋sin2 ‎＝sin2＋sin2(－)‎ ‎＝sin2＋cos2＝1.‎