高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第3节-课件 50页

走向高考 · 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 北师大版 · 高考总复习 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 函数与基本初等函数 第二章 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 第三节　函数的奇偶性与周期性 第二章 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 课前自主导学2 课 时 作 业4 高考目标导航1 课堂典例讲练3 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 高考目标导航 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 考纲要求 命题分析 1.结合具 体函数，了解 函数奇偶性的 含义． 2．会运 用函数图像理 解和研究函数 的奇偶性． 3．了解 函数周期性、 最小正周期的 含义，会判断 、应用简单函 数的周期性. 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判 断、利用函数奇偶性求函数值、根据函数奇偶性求参数 值．解答此类问题时，要先判断函数的定义域是否关于 原点对称，再研究f(x)与f(－x)的关系． 2．对函数周期性的考查，主要涉及判断函数的周 期、利用周期性求函数值，以及解决与周期有关的函数 综合问题．充分利用题目提供的信息，迁移到有定义的 范围上进行求值是解答此类问题的关键． 3．高考中考查函数的性质往往不是单纯考查一个 性质，而是综合考查，所以需要对函数的各个性质非常 熟悉并能结合函数图像的特点，对各个性质综合运用． 估计2016年仍将以函数的性质及应用为主，考查延 续选择填空题形式，分值5分. 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 课前自主导学 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 1.函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作______．奇函数f(x)满足 ____________． 图像关于y轴对称的函数叫作______．偶函数f(x)满足 ____________． 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有______． 奇函数 f(－x)＝－f(x) 偶函数 f(－x)＝f(x) 奇偶性 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 2．周期函数的概念 (1)对于函数f(x)，如果存在一个______常数T，使得当x取 定义域内的______值时，都有____________，那么函数f(x)叫 作周期函数，非零常数T叫f(x)的______．如果所有的周期中存 在一个____________，那么这个__________就叫f(x)的最小正 周期． (2)周期函数______有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则 kT(k∈N＋)也一定是f(x)的周期． 非零 每一个 f(x＋T)＝f(x) 周期 最小的正数 最小正数 不一定 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 2a 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 2．(文)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于(　　) A．－2　 B．－1 C．1 D．2 [答案]　C [解析]　∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数．∴1 －a＝0，∴a＝1. 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 3．(文)(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x－1　 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x [答案]　D [解析]　此题考查函数奇偶性的判断． A、B非奇非偶，C为奇函数，D，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 (理)(2014·新课标Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数　 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 [答案]　C [解析]　本题考查复合函数的奇偶性．函数f(x)是奇函数， 则函数|f(x)|是偶函数，所以选项A得到的函数是奇函数；选项 B、D是偶函数；所以选C，一个奇函数和一个偶函数的积在其 公共的定义域内是奇函数． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 5．(文)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1， 则g(－1)＝________. [答案]　3 [解析]　本题主要考查了奇函数的定义及函数值的求法． 由f(x)为奇函数，则f(－1)＝－f(1)， 由g(1)＝f(1)＋2　 ① g(－1)＝f(－1)＋2　 ②， 则①＋②得g(1)＋g(－1)＝4，∴g(－1)＝4－g(1)＝3. 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 (理)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2， 则g(－1)＝________. [答案]　－1 [解析]　本题考查函数的奇偶性的应用． 令h(x)＝f(x)＋x2， ∴h(1)＝f(1)＋1＝2， h(－1)＝f(－1)＋1＝－2，∴f(－1)＝－3， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 6．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－ 4]上是减少的，则f(x)在[0,2]上的单调性是________． [答案]　单调递增 [解析]　∵T＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f(x)为偶函数，故f(x)的 图像关于y轴对称，由对称性知f(x)在[0,2]上单调递增． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 课堂典例讲练 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 奇偶性的判定 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 [方法总结]　判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数 的定义域；(2)证明f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 (文)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下 列结论恒成立的是(　　) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数　 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数 [答案]　A [解析]　本题考查奇、偶函数的定义以及判断．可逐项用 定义判断． ∵f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|， ∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．选A． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 (理)(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x， y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是(　　) A．4　 B．3 C．2 D．1 [答案]　C [解析]　本题考查函数奇偶性的判定，这四个函数的定义 域均为R. (－x)3＝－x3　2sin(－x)＝－2sinx ∴y＝x3，y＝2sinx是奇函数． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 [思路分析]　(1)利用奇函数的性质f(－x)＝－f(x)求解；(2) 先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)>x. 函数奇偶性的应用 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 (2)当x>0时，x2－4x>x，∴x>5， 当x＝0时，f(0)＝0，不合题意． 当x<0时，－x>0时，f(－x)＝(－x)2＋4x＝x2＋4x， ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－4x>x，∴－5x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． [答案]　(1)A　(2)(－5,0)∪(5，＋∞) 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 [方法总结]　函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性构造关 于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常 常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等 式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的 区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图 像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值． [思路分析]　(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)为周 期函数； (2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图像关于x＝1对称求得f(x) 在[1,2]上的解析式； (3)由周期性求和的值． 函数的周期性及应用 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 [规范解答]　(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－ f(x)，函数f(x)的图像关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－ f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以 4为周期的周期函数． (2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]， 又f(x)的图像关于x＝1对称， 则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]． (3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 又f(x)是以4为周期的周期函数． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝504[f(0)＋f(1)＋f(2)＋ f(3)]＝0. 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 (文)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝ 2，则f(3)－f(4)＝(　　) A．－1　 B．1 C．－2 D．2 [答案]　A [解析]　∵f(3)＝f(5－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， f(4)＝f(5－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， ∴f(3)－f(4)＝－1，故选A． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 抽象函数性质的综合应用 抽象函数的奇偶性、单调性和周期性的综合应用是高中数 学的难点，很多同学往往感觉无从下手．事实上，对抽象函数 的研究主要是结合赋值法，牢牢抓住其性质，利用转化的思想 方法，达到解题的目的．以下从三个方面来探究一下做此类题 目的规律． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 一、抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断x对应的函数值与－x对应的函数 值之间的关系，从而得到函数图像关于原点或y轴对称，结合 函数的图形作出进一步的判断． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 (2015·天水调研)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1) 与f(x－1)都是奇函数，则(　　) A．f(x)是偶函数　 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数 [规范解答]　函数f(x＋1)，f(x－1)都为奇函数，所以f(－x ＋1)＝－f(x＋1)，f(x－1)＝－f(x－1)，所以函数f(x)关于点 (1,0)，(－1,0)对称，所以函数的周期T＝4，所以f(x－1＋4)＝－ f(x－1＋4)，即f(x＋3)＝－f(－x＋3)，所以函数f(x＋3)为奇函 数，选D． [答案]　D 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 二、抽象函数的周期性 判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由 于函数的周期性还是函数的整体性质，因此另一个变量必须具 有任意性．应用函数周期性求函数值，特别是在求自变量比较 大的函数值时，就要考虑寻找判断函数的周期，从而利用周期 把函数值转化为已知求出． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 三、抽象函数的单调性 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现 一些综合性问题，常见的类型就是函数的单调性、奇偶性和周 期性综合应用，求参数的范围、比较函数值的大小或解不等 式．解题的关键是利用周期性与奇偶性，把自变量转化到已知 的区间内，再利用函数在这个区间内的单调性解决问题． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 [答案]　B [方法总结]　从以上的几种类型可以看出，解答抽象函数 问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规 律，注意利用已知的条件，把抽象问题形象化、具体化，就可 以做到化难为易、迎刃而解了． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 [解析]　考查函数的奇偶性和周期性． 因为f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数， 所以f(－2 014)＝f(2 014)， 又因为x≥0时，有f(x＋2)＝f(x)， 所以在[0，＋∞)上f(x)的周期为2，所以 f(－2 014)＋f(2 015)＝f(2 014)＋f(2 015)＝f(0)＋f(1)＝log21 ＋log22＝1. 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称． 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充 分条件． 两个性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共 定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶， 偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 走向高考 · 高考总复习 · 北师大版 · 数学 　第二章　函数与基本初等函数 三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法： (1)定义法；(2)图像法；(3)性质法． 三条结论 (1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋ x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(其 中a