云南省昭通市水富县 2016-2017 学年高二数学下学期阶段测试试卷（一） 理 10页

云南省昭通市水富县 2016-2017 学年高二数学下学期阶段测试试卷（一） 理 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合  2, 1,0,1,2A    ，  ( 1)( 2) 0B x x x    ，则 A B  （ ） A． 1,0 B． 0,1 C． 1,0,1 D． 0,1,2 （2）已知向量 (2 1,3)a x  ， (2 ,1)b x  ，若 / /a b   ，则实数 x 的值是（ ） A． 1 6 B． 1 6  C．-1 D．1 （3）设 、 是两个不同的平面， m 是直线且 m  ， / /m “ ”是 / / “ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （5）若 1 3 log 2a  ， 21( )3b  ， 1 32c  ，则（ ） A． b a c  B． a b c  C．b c a  D． c a b  （6）已知等比数列 na 满足 1 1 3 53, 21a a a a    ，则 3 5 7a a a   （ ） A．84 B． 63 C．42 D．21 （7）设函数 ( ) xf x xe ,则( ) A. 1x  为 ( )f x 的极大值点 B. 1x  为 ( )f x 的极小值点 C . 1x   为 ( )f x 的极大值点 D. 1x   为 ( )f x 的极小值点 （8）如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1,0) ,且点 C 与点 D 在函数 1, 0, ( ) 1 1, 0,2 x x f x x x      的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此 点取自 阴影部分的概率等于 ( ) A． 1 6 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 （9）已知三棱锥 S ABC 的所 有顶点都在球O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为 球的直径，且 2SC  ，则此棱锥的体积为（ ） A． 2 6 B． 3 6 C． 2 3 D． 2 2 （ 10 ） 已 知 函 数    sin , 08f x x x R        的 最 小 正 周 期 为  ， 为 了 得 到 函 数   cosg x x 的图象，只要将  y f x 的图象（ ） A．向左平移 3 4  个单位长度 B．向右平移 3 4  个单位长度 C．向左平移 3 16  个单位长度 D．向右平移 3 16  个单位长度 （11）已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  与双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     有相同的焦点 F ，点 A 是两 曲线的一个交点，且 AF x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 2 B． 5 1 C． 3 1 D． 2 1 （12）已知函数 2 2 , 2 ( ) ( 2) , 2 x x f x x x       ，函数 ( ) (2 )g x b f x   ，其中b R .若函数 ( ) ( )y f x g x  恰有 4 个零点，则b 的取值范围是( ) A． 7 ,4     B． 7, 4     C． 70, 4      D． 7 ,24      第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分. （13）已知实数 ,x y 满足不等式组 0, 1, 0, x y x y x        则 2z x y  最大值是___________． （14）执行如图所示的程序框图,则输 出的 a  ___________． （15）函数 ( ) lnxf x e x 在点（1,0）处的切线方程是 . （16）已知直线 : 3 3 0l nx y n    与圆 2 2 12x y  交于 A B、 两点,过 A B、 分 别 作 l 的 垂 线 与 x 轴 交 于 C D、 两 点 , 若 2 3AB  , 则 CD  ___________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 10 分） 已知 A B C、 、 为 ABC 的三内角，且其对边分别为 a b c、 、 ，若 1cos cos sin sin 2B C B C  . （Ⅰ）求 A ； （Ⅱ）若 2 3a  ， 4b c  ，求 ABC 的面积. （18）（本小题满分 12 分） 已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 nS 是 1 与 na 的等差中项． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）求数列 1 2 n na a        的前 n 项和 nT ． （19）（本小题满分 12 分） 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市 18～68 岁的人群抽取一个容量 为 n 的样本，并将样本数据分成五组：         18 28 28 38 38 48 48 58 58 68 ,、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，再将其按从 左到右的顺序分别编号为第 1 组，第 2 组，…，第 5 组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答 问题情况进行统计后，结果如下表所示． （Ⅰ）分别求出 a ， x 的值； （Ⅱ）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组应各抽取多 少人? （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率． （20）(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形, AB AD , / /AB CD , PC  底面 ABCD , 2 2 4AB AD CD   , 2PC a , E 是 PB 的中点． （Ⅰ）求证：平面 EAC  平面 PBC ； （Ⅱ）若二面角 P AC E  的余弦值为 6 3 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正 弦值． （21）(本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的一个顶点为 (2,0)A ,离心率为 2 2 ,直线 ( 1)y k x  与椭圆 C 交于不同的两点 M N、 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当 AMN 的面积为 10 3 时,求 k 的值. （22）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 2) xf x ax e  在 1x  处取得极值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 ( )f x 在 , 1m m  上的最小值; (Ⅲ)求证:对任意  1 2, 0,2x x  ,都有 1 2( ) ( )f x f x e  . 2016—2017 学年度下学期阶段测试（一） 高二年级理科数学试卷答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 B D B A B C D B A C D D 1.解析：因为  1 2B x    ，所以 A B   0,1 ，故选 B. 2.解析：因为 / /a b   ，所以  2 1 3 2 0x x    ，所以 1x  ，故选 D. 3.解析：由线面平行的性质定理可知答案为 B. 4.解析：将三视图还原得到的四棱锥底面为矩形，一侧面垂直于底面，故 1 6 2 3 123V      .故选 A. 5.解析：由图像可得  0, 0,1 , 1a b c   ，故选 B. 6.解析：因为 2 4 1 1 1 21a a q a q   ，所以 2 2q  ，所以 3 5 7a a a   42.故选 C. 7.解析： ' (1 )xy e x  ，因为 ( )f x 在  , 1  为单调减函数，在  1,  为单调增函数，所以 1x   为 ( )f x 的极小值. 故选 D. 8. 解析：因为    1,2 , 2,2C D  ,所以矩形 ABCD 的面积为 6，阴影部分的面积为 3 2 ， 所以若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 1 4 ，故选 B. 9.解析：如图在三棱锥 S ABC 中，取 ABC 的中心 D ， SC 的中点 O ，连结 CD BD OB、 、 ， D 是 ABC 的外心，所以 3 3BD  ，又 O 是球心，所以 OD ABC 平面 ， 1OB  ， 2 61 3OD OB   ，所以高 2 6 3h  ，则 1 3 2 6 2 3 4 3 6V     ，故选 A. 10. 解 析 ： 由 T  得 2  ， 3 3 3( ) sin(2 ) cos (2 ) cos( 2 ) cos(2 ) cos28 2 8 8 8 16f x x x x x x                        故选 C. 11. 解析：因为 2 p c ，所以  ,2A c c 代入双 曲线 2 2 2 2 1x y a b   ，整理可得 4 2 2 46 0c a c a   ，即 4 26 1 0e e   ，所以 2 3 2 2e   ，双曲线的离心率 1e  ，所以 2 1e   ，故选 D. 12. 解 析 ： 函 数 ( ) ( )y f x g x  恰 有 4 个 零 点 ， 即 方 程 ( ) ( ) 0f x g x  ， 即 ( ) (2 )b f x f x   有 4 个不同的实数根，即直线 y b 与函数 ( ) (2 )y f x f x   的图像 有 4 个不同的交点.又 2 2 2, 0 ( ) (2 ) 2,0 2 5 8, 2 x x x y f x f x x x x x               作出函数的图像如图所示， 由图可知，当 7 24 b  时，直线 y b 与函数 ( ) (2 )y f x f x   的图像有 4 个不同的交点，故函数 ( ) ( )y f x g x  恰有 4 个零点时， b 的取值范围是 7 ,24      .故选 D 二、填空题： 13. 2 14. -4 15. ( 1)y e x  16. 4 13. 解析：因为可行域为三角形，     1 10 0,0 , 0,1 , ,2 2A B      ,所以将点 A 代入 2z x y  最大值是 2， 故填 2. 14. 解 析 ： ① 1 40, 1, 1, 2b a i      ； ② 5 52 40, , , 32 2b a i      ； ③ 3 40, 4, 4, 4b a i      ； ④ 4 40, 1, 1, 5b a i      ， … … ， 周 期 为 3. 39 40, 4, 4, 40b a i      .故填-4. 15. 解析： ' 1(ln )xy e x x   ， '(1)k f e  ，切线为 ( 1)y e x  .故填 ( 1)y e x  . 16. 解析：设圆心到直线 : 3 3 0l mx y m    的距离为 d ，则弦长 22 12 2 3AB d   得 3d  即 2 3 3 3 1 m m    解得 3 3m   ，则直线 : 3 6 0l x y   ，数形结合可得 4cos30 ABCD   .故填 4. 三、解答题： 17. 解：（1）∵ 1cos cos sin sin 2B C B C  ， ∴ 1cos( ) 2B C  ，又∵ 0 B C    ，∴ 3B C   . ∵ A B C    ，∴ 2 3A  .-----------5 分 （2）由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   • ， 得 2 2 2(2 3) ( ) 2 2 cos 3b c bc bc     • ，即 112 16 2 2 ( )2bc bc   • ，∴ 4bc  ， ∴ 1 1 3sin 4 32 2 2ABCS bc A   • • • -------------10 分 18. 解：（1） 1n  时， 1 1a  ， 2n  时， 2 1 14 ( 1)n nS a   ，又 24 ( 1)n nS a  ，两式相减得 1 1( )( 2) 0n n n na a a a     ， ∵ 0na  ， ∴ 1 2n na a   ， ∴ na 是以1为首项， 2 为公差的等差数列，即 2 1na n  ．-------------6 分 （2） 1 2 2 (2 1)(2 1)n na a n n    ， ∴ 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )3 3 5 2 1 2 1nT n n         … 11 2 1n    = 2 2 1 n n  ．-----------12 分 19. 解：（1）第 1 组人数 ，所以 ， ------- 1 分 第 2 组频率为： ，人数为： ，所以 ， ------ 2 分 第 4 组人数 ，所以 ， ------------ 3 分 （2）第 2,3,4 组回答正确的人的比为 ，所以第 2,3,4 组每组应各依次抽取 人， 人，1 人 -- -------6 （3）记“所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖”为事件 A，抽取的 6 人中，第 2 组的设为 ， ，第 3 组的设为 ， ， ，第 4 组的设为 ， 则从 6 名幸运者中任取 2 名的所有可能的情况 有 15 种，它们是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ----- 8 分 其中第 2 组至少有 1 人的情况有 9 种，他们是：A= ， ， ， ， ， ， ， ， ． -------------- 9 分 ． -------------------------------- 11 分 答：所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为 ----------------- 12 分 20. 解：（Ⅰ） 平面 平面 因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,又 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 ．----------6 分 （Ⅱ）如图， 以点 为原点， 分别为 轴、 轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系，则 .设 ，则 取 ，则 为面 法向量． 设 为面 的法向量，则 ， 即 ，取 ，则 依题意 ，则 ．于是 ． 设 直线 与平面 所成角为 ，则 即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．-------------12 分 21.解：（1） 22, , 2, 22 ca e c ba      ，椭圆 C: 2 2 14 2 x y  .----------4 分 (2)设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ,则由 2 2 ( 1) 14 2 y k x x y     消 y 得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x k x k     . ∵直线 ( 1)y k x  过椭圆内点(1,0) ∴ 0 恒 成 立 , 由 根 与 系 数 的 关 系 得 2 2 1 2 1 22 2 4 2 4,1 2 1 2 k kx x x xk k     ,------------8 分   1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 112 2 42 16 24 2 1 2 10 3 AMNS y y kx kx k x x x x k k k               ------------11 分 即 2 27 2 5 0k k   ,解得 1k   。-----------12 分 22.解：（1） ' ( ) ( 2) ( 2)x x xf x ae ax e ax a e      ， 由已知得 ' (1) 0f  ，即 (2 2) 0a e  ，解得 1a  。------ ----2 分 （2） ( ) ( 2) xf x x e  ， ' ( ) ( 2) ( 1)x x xf x e x e x e     。 令 ' ( ) 0f x  得 1x  ；令 ' ( ) 0f x  得 1x  ， 所以函数 ( )f x 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增。 1 当 1m  时， ( )f x 在 , 1m m  上单调递增， min( ) ( ) ( 2) mf x f m m e   ； 2 当 0 1m  时 ， 1 1m m   ， ( )f x 在  ,1m 上 单 调 递 减 ， 在  1, 1m  上 单 调 递 增 ， min( ) (1)f x f e   ； 3 当 0m  时， 1 1m   ， ( )f x 在 , 1m m  上单调递减， 1 min( ) ( 1) ( 1) mf x f m m e     。 综上， ( )f x 在 , 1m m  上的最小值 min 1 ( 2) , 1, ( ) ,0 1, ( 1) , 0. m m m e m f x e m m e m           ------------8 分 （3）由（2）知 ( ) ( 2) xf x x e  ， ' ( ) ( 1) xf x x e  ， 令 ' ( ) 0f x  得 1x  。因为 (0) 2, (1) , (2) 0f f e f     ， 所以  0,2x 时， max min( ) 0, ( )f x f x e   。 所以对任意  1 2, 0,2x x  都有 1 2 max min( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x f x f x e    --------------12 分