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- 2021-06-16 发布
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专题 23 不等式
【标题 01】把两个不等式直接相减违背了不等式的性质
【习题 01】若 , 满足
2 2
,
2
,则 的取值范围是 .
【经典错解】因为
2 2
,
2
,两式对应相减得
2
pp a b- < - < - ,所以 的取值范围
是
2
pp a b- < - < - .
【详细正解】因为
2
,所以
2
,
又因为
2 2
p pa- < < ,所以两式相加得
3 02
p a b- < - < ,所以 的取值范围是 3 02
p a b- < - < .
【习题 01 针对训练】设 (0, )2
, [0, ]2
,那么 2 3
的取值范围是( )
A.(0, 5
6
) B.(-
6
, 5
6
) C. (0, ) D.( , )6
【标题 02】不等式推理时忽略了不等式性质
【习题 02】“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【经典错解】 2 2a b ac bc ,所以“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的充分条件. 2 2ac bc a b ,所以
“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的必要条件,所以选 C .
【详细正解】 2 2a b ac bc 不能推出 ,因为 0c 时,不等式 2 2ac bc 不成立,所以“ a b ”是
“ 2 2ac bc ”的非充分条件. 2 2ac bc a b ,所以“ a b ”是 “ 2 2ac bc ”的必要条件,所以选 B .
【深度剖析】(1)经典错解错在不等式推理时忽略了不等式性质. (2)在不等式两边同时乘以一个数时,一
定要注意这个数是正数,还是负数,还是零,不能随意.
【习题 02 针对训练】给出三个条件:① 2 2ac bc ;② a b
c c
;③ 2 2a b .其能成为 a b 的充分条件的个
数为( )
A. 0 个 B.1个 C. 2 个 D.3个
【标题 03】把不是一元二次不等式的看成了一元二次不等式导致漏解
【习题 03】对于任意实数 x ,不等式 2 1 0mx mx 恒成立,则实数 a 的取值范围( )
A. ( , 4) B. ( , 4]
C. ( 4,0) D. ( 4,0]
【经典错解】由题得 042 mm ,即 04 m ;综上所求实数 m 的取值范围是 ( 4,0] ,故选 C.
【详细正解】当 0m 时,不等式显然成立;当 0m 时, 042 mm ,即 04 m ;综上所求实数
m 的取值范围是 ( 4,0] ,故选 D.
【习题 03 针对训练】若不等式 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【标题 04】经典错解错在不讲逻辑在解分式不等式的两边同时乘了分母
【习题 04】解不等式
【经典错解】由题得 2 3 2 5x x x ,所以解集为 ( 5, )
【详细正解】 2 3 2 3 51 1 0 0 5 2 02 2 2
x x x x xx x x
5 2x x 或 ,解集为 , 5 2,x
【深度剖析】(1)经典错解错在不讲逻辑在解分式不等式的两边同时乘了分母.(2)由于分母 2x 不知道
是正数还是负数,所以不能在不等式的两边同时乘以 2x ,此时要么分类讨论,要么按照详细正解解答.
【习题 04 针对训练】不等式 11
1 x
的解集为( )
A. ),1[]0,( B. ),0[
C. ),1(]0,( D. ),1()1,0[
【标题 05】没有把一元二次不等式的二次项的系数变成正数
【习题 05】不等式-x2-x+2<0 的解集为( )
A. {x|x<-2 或 x>1 } B. {x|-2<x<1 }
C. {x|x<-1 或 x>2 } D. {x|-1<x<2 }
【经典错解】由题得 ( 1)( 2) 0 2 1x x x 故选 B.
【详细正解】不等式变形为 2 2 0 2 1 0 1 2x x x x x x 或 ,所以不等式解集为{x|x
<-2 或 x>1 },故选 A.
【习题 05 针对训练】不等式 (1 2 ) 0x x 的解集为
【标题 06】图像分析不彻底
【习题 06】变量 yx、 满足线性约束条件
3 2 0
2
1
x y
y x
y x
,则目标函数 ykxz ,仅在点 (0,2) 取得最
小值,则 k 的取值范围是( )
A. 3k B. 1k C. 3 1k D. 1 1k
【经典错解】作出不等式组对应的平面可行域(如图所示)
ykxz , 所以 y kx z ,当 z 最小时,直线在 y 轴上的纵截距最大,当动直线 PM 的斜率大于直线
PR 的斜率 3 时,目标函数 z kx y ,仅在点 (0,2) 取得最小值,则 k 的取值范围是 3k ,所以选
择 A .
【详细正解】作出不等式组对应的平面可行域(如上图所示), z kx y ,所以 y kx z= - ,当 z 最小时
直线在 y 轴上的纵截距最大,当动直线 PM 的斜率大于直线 PR 的斜率 3 且小于直线 PQ 的斜率1时,目
标函数 ykxz ,仅在点 (0,2) 取得最小值,则 k 的取值范围是 3 1k ,所以选择C .
【习题 06 针对训练】若 ,x y 满足约束条件
1,
1,
2 2,
x y
x y
x y
目标函数 2z ax y 仅在点 (1,0) 处取得最小值,则
实数 a 的取值范围是( )
A. ( 4,2) B. ( 4,1)
C. ( , 4) (2, ) D. ( , 4) (1, )
【标题 07】画线性约束条件对应的平面区域时出现错误
【习题 07】已知 1 1
2 2
log ( 4) log (3 2)x y x y ,若 x y 恒成立, 则 的取值范围是 .
【经典错解】要使不等式成立,则有
4 0
3 2 0
4 3 2
x y
x y
x y x y
,即
4 0
3 2 0
3
x y
x y
x
,设 z x y ,则 y x z .
作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线 y x z ,由图象可知当直线 y x z 经过点 B 时,直线的截
距最小,此时 z 最大,由 4 0
3
x y
x
,解得 7
3
y
x
,代入 z x y 得 3 7 10z x y ,所以要使
x y 恒成立,则 的取值范围是 10l > ,即 (10, )+¥ ,
【习题 07 针对训练】已知实数 ,x y 满足:
2 1 0
2
1 0
x y
x
x y
, 2 2 1z x y ,则 z 的取值范围是( )
A. 5[ ,5]3
B. 0,5 C. 0,5 D. 5[ ,5)3
【标题 08】把动点对应的平面区域扩大了
【习题 08】直角坐标系 xoy 中,已知两定点 (1,0)A , (1,1)B .动点 ( , )P x y 满足
10
20
OAOP
OBOP ,则点
( , )M x y x y 构成的区域的面积等于 .
【经典错解】由
10
20
OAOP
OBOP ,得
10
20
x
yx ,所以 1 0x ,和不等式 0 2x y 对应相加
得 1 2y , 所以 2 1y ,所以 2 2x y .以 x y 为横坐标,以 x y 为纵坐标,作一个矩
形,得矩形的面积为8 .
【详细正解】由
10
20
OAOP
OBOP ,得
10
20
x
yx
设 M(s,t),则 s x y
t x y
,解得
1 ( )2
1 ( )2
x s t
y s t
,由 0 2
0 1
x y
x
,得 0 2
0 2
s t
s
.作出不等式组对应
的平面区域,是一个平行四边形,计算得平面区域的面积为 4 ,所以填 4 .
【习题 08 针对训练】已知点 ( , )M a b 在由不等式
0,
0,
2,
x
y
x y
确定的平面区域内,则点 ( , )N a b a b 所在
的平面区域面积是 ________.
【标题 09】思维不严谨
【习题 09】设变量 ,x y 满足约束条件
1
6
2
x y
x y
y
,则目标函数 z xy 的取值范围为( )
A.[2,8] B. 35[2, ]4
C.[2,9] D. 35[8, ]4
【经典错解】如图,可行域为 ABC 的边界及内部,双曲线 zy x
= 与可行域有公共点时,由于最优解一般
在顶点取得,所以把点 ,B,CA 的坐标代入得选择 B .
【详细正解】如图,可行域为 ABC 的边界及内部,双曲线 zy x
= 与可行域有公共点时,当曲线经过点 A 时,
z 最小,当曲线和直线 BC 相切时, z 最大.联立
6
zy x
x y
ì =ïíï + =î
得 2 6 0 36 4 0x x z z- + = D = - =
9z = 所以 2 9z .故选C .
【习题 09 针对训练】已知实数 ,x y 满足
1
3
5 4
y x
x
x y
,则
2x
y
的最小值是 .
【标题 10】不等式性质理解不透彻
【习题 10】已知 2( )f x ax c ,且 4 (1) 1f , 1 (2) 5f ,则 (3)f 的取值范围是 .
【经典错解】∵ (1)f a c , (2) 4f a c ,所以 4 1a c , 1 4 5a c .
所以1 4c a 1 4 5a c 两式相加得 0 3a 所以 0 9 27a
因为 4 1a c , 1 4 5a c 所以 16 4 4 4a c 5 4 1c a
两式相加得1 7c 所以 7 1c
因为 (3) 9f a c 所以 7 9 26a c 所以 (3)f 的取值范围是[ 7,26] .
【详细正解】∵ (1)f a c , (2) 4f a c ,∴ 1[ (2) (1)]3a f f . 4 1(1) (2)3 3c f f ,
∴ 8 5(3) 9 (2) (1)3 3f a c f f .∵ 1 (2) 5f , 8 8 40(2)3 3 3f .
又 4 (1) 1f , 5 5 20(1)3 3 3f . ∴ 1 (3) 20f .
【习题 10 针对训练】已知 1 3
1 1
x y
x y
,则 6 3x y 的取值范围是________.
【标题 11】利用基本不等式时忽略了取等条件
【习题 11】下列命题中正确的是( )
A.当 10 1,lg 2lgx x x x
> ¹ + ³且 B.当 0 2
, 2sin sin
的最小值为 2 2
C.当 0x , 21
x
x D.当 10 2 ,x x x
时 无最大值
【经典错解】基本不等式使用时注意“一正、二定、三相等”,选项 A 中的 lg x 的符号不确定,可正可负;
选项 B 中, sin (0.1]q Î , 2 2sin 2 sin 2 2sin sin ,所以选择 B .
【详细正解】基本不等式使用时注意“一正、二定、三相等”,选项 A 中的 lg x 的符号不确定,可正可负;
选项 B 当且仅当 2sin 时取到等号,而 sin 的最大值为1; 0x , 2121
x
x
x
x
当且仅当 1x 取到等号.所以选择C .
【习题 11 针对训练】若直线 )0,(022 babyax 始终平分圆 082422 yxyx 的周长,则
ba
1
2
1 的最小值为 .
【标题 12】忽略了线性约束条件中不等式的等号
【习题 12】某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名,x 和 y 须满足约束条件
6
2
52
x
yx
yx
,则该校招聘
的教师最多是 名.
A.6 B.8 C.10
D.13
【经典错解】招聘老师的人数 z x y ,作出不等式组对应的可行域,当直线 y x z 经过可行域的点
(6,7) 时, z 最大 6 7 13 ,故选 D .
【详细正解】招聘老师的人数 z x y ,作出不等式组对应的可行域,当直线 y x z 经过可行域的点
(5,5) 时, z 最大 5 5 10 ,故选C .
【深度剖析】(1)经典错解错在忽略了线性约束条件中不等式的等号. (2)不等式组中的第三个不等式
6x ,没有等号,所以点 (6,7) 不在可行域内,所以点 (6,7) 不是最优解.所以要找其他的整数点.
【习题 12 针对训练】已知实数 yx, 满足:
01
2
012
yx
x
yx
, |122| yxz ,则 z 的取值范围是( )
A. ]5,3
5[ B. )5,0[ C. ]5,0[ D. )5,3
5[
【标题 13】找整数点时没有关注最优解要在线性约束条件的可行域内
【习题 13】某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如表:
试问应加工这两种产品各多少件才能使工厂获得的利润最大?
【经典错解】解:设共生产甲、乙两种产品各 x 件和 y 件,工厂获得的利润为 z,则
4 3 480
2 5 500
0, 0
,
x y
x y
x y
x y N
z=300x+520y.
作出可行域(如图).
考虑 z=300x+520y,将它变形为 15 1
26 520y x z ,这是斜率为 15
26
、随 z 变化的一族平行直线. 1
520 z
是直线在 y 轴上的截距,当直线截距最大时,z 的值最大,当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时
目标函数 z=300x+520y 取得最大值.
由图可见,当直线 z=300x+520y 经过可行域上的点 M 时,截距最大,即 z 最大. 4 3 480
2 5 500
x y
x y
得 M 的坐
标为 2 2(64 ,74 )7 7
.取最靠近点 M 的点,逐一检验,得(63,75)是最优解.
所以 max 300 63 520 75 57900z
所以加工这两种产品各 63 和 75 件时,工厂获得的利润最大.
【详细正解】前面同上.但是点(63,75)不满足线性约束条件中的 2x+5y≤500,所以点(63,75)根本不在
可行域内,接着取点 M 附近的点(这些点必须满足线性约束条件),得点(64,74)是最优解.所以
max 300 64 520 74 57680z ,所以加工这两种产品各 64 和 74 件时,工厂获得的利润最大.
【习题 13 针对训练】某人有楼房一幢,室内面积共计 180m2,拟分割成两类房间作为旅游客房,大房间每
间面积为 18m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积为 15m2,可以住游客 3 名,每
名游客每天住宿费 50 元;装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000
元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天能获得最大的房租收益?(注:
设分割大房间为 x 间,小房间为 y 间,每天的房租收益为 z 元)
(1)写出 x,y 所满足的线性约束条件;
(2)写出目标函数的表达式;
(3)求 x,y 各为多少时,每天能获得最大的房租收益?每天能获得最大的房租收益是多少?
【标题 14】误认为线性规划的所有最值都是在顶点取得
【习题 14】设变量 yx, 满足约束条件
2
2
1
y
yx
yx
,则目标函数 22 yxz 的取值范围为 _______.
A. ]8,2[ B. ]13,4[ C. ]13,2[ D. ]13,2
5[
【经典错解】画出不等式组对应的平面区域,得它是一个以 3 1(0,2), ( , ), (3,2)2 2A B C 为顶点的一个三角形,
当 3, 2x y 时, 2 2
max 3 2 13z ,当 3, 2x y 时, 2 2
min
3 1 5( ) ( )2 2 2z .故选 D.
【详细正解】画出不等式组对应的平面区域,得它是一个以 3 1(0,2), ( , ), (3,2)2 2A B C 为顶点的一个三角形,
2 2 2 2 2( ( 0) ( 0) )z x y x y ,它表示平面区域内的点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方.
当 3, 2x y 时 , 2 2
max 3 2 13z . 原 点 到 直 线 x+y-2=0 的 距 离 为 | 2 | 2
1 1
d
, 所 以
2
min 2 2z ,故选 C.
【深度剖析】(1)经典错解错在误认为线性规划的所有最值都是在顶点取得.(2)线性规划的问题一般在顶
点取到最值,但是并不代表所有的情况都是如此.最好是利用数形结合画图分析.本题的最小值就不是在顶
点取得,是在垂足那一点取得.
【习题 14 针对训练】已知 x y, 满足约束条件
2 2 0
2 4 0
3 3 0
x y
x y
x y
,目标函数 2 2z x y 的最大值为( )
A. 2 5
5
B. 4
5
C. 13 D.13
高中数学经典错题深度剖析及针对训练
第 23 讲:不等式参考答案
【习题 01 针对训练答案】 D
【习题 01 针对训练解析】由题设得 0 2 , 0 3 6
,∴ 06 3
,∴ 26 3
.
故选 D .
【习题 02 针对训练答案】 B
【习题 02 针对训练解析】①中 0c ,故①能推出 a b ;②中,若 0c 时得 a b ,故②不能推出 a b ;
③中,当 2, 1a b 时有 2 2a b ,但不能得出 a b ;故能成为 a b 的充分条件只有①,故选 B .
【习题 04 针对训练答案】C
【习题 04 针对训练解析】原不等式可化为 1 1 0 0 1 0, 11 1
x x x xx x
,解得
( ,0] (1, )x .故选 C.
【习题 05 针对训练答案】 )2
1,0(
【习题 05 针对训练解析】 0)21( xx ,得 0)12( xx 可得
2
10 x .
【习题 06 针对训练答案】 A
【习题 06 针对训练解析】作出不等式组表示的区域,直线 2z ax y 的斜率为
2
ak ,从图可看出,当
1 2k 即 1 2, 4 22
a a 时,仅在点 (1,0) 处取得最小值.故选 A .
【习题 07 针对训练答案】C
【习题 07 针对训练解析】画出 ,x y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令 2 2 1u x y ,则
1
2
uy x ,先画出直线 y x ,再平移直线 2 2 9x y ,当经过点 (2, 1)A , 1 2( , )3 3B 时,代入u ,可
知 5 53 u ,∴ | | [0,5)z u ,故选C .
【习题 09 针对训练答案】 4
【习题 09 针对训练解析】因为实数 ,x y 满足
1
3
5 4
y x
x
x y
,如图所示,令
2x
y k ,所以
2xy k
.由于当 0k
时抛物线的开口向下,所以不合条件.所以 0k ,有两种情况当 k 取最小值即抛物线过点 3 1( , )2 2A .所以
2x
y
的最小值是 9
2
.当抛物线与直线 31 0( 3)2x y x 相切的情况, 4k ,即
2x
y
的最小值是 4 .
【习题 11 针对训练解析】由 082422 yxyx 得 2 22 1 13x y ,则圆心坐标为 2,1 ,
∵直线 )0,(022 babyax 平分圆的周长,即直线过圆心,
∴ 1a b ,∴ 1 1 1 1 3 3 3 2 222 2 2 2 2 2
b aa ba b a b a b
,
当且仅当
2
b a
a b
,即 2 1, 2 2a b 时取等号, ∴
ba
1
2
1 的最小值为 3 2 2
2
.
【习题 12 针对训练答案】 B
【习题 12 针对训练解析】作出可行域如下图所示:
【习题 13 针对训练解析】
根据题意得:
(1)
18 15 180
1000 600 8000
,
x y
x y
x y N
Nyx
yx
yx
,
4035
6056
【习题 14 针对训练答案】B
【习题 14 针对训练解析】在直角坐标系内作出不等式组
2 2 0
2 4 0
3 3 0
x y
x y
x y
所表示的平面区域,如下图所示,目
标函数 2 2z x y 中 z 的几何意义为坐标原点与可行域内点连线距离的平方,由图可知,其最小值为原点到
直线 2 2 0x y 距离的平方,所以
2
min 2 2
2 4
51 2
z
,故选 B.