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- 2021-06-16 发布
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第三章 章末检测（A）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1．原点和点(1,1)在直线 x＋y＝a 两侧，则 a 的取值范围是( )
A．a<0 或 a>2 B．00 的解集为 x|－2a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
答案 B
解析 ∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，
∴－1a2>－a2>a.
4．不等式1
x<1
2
的解集是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 1
x<1
2
⇔1
x
－1
2<0⇔2－x
2x
<0
⇔x－2
2x
>0⇔x<0 或 x>2.
5．设变量 x，y 满足约束条件
x＋y≤3，
x－y≥－1，
y≥1，
则目标函数 z＝4x＋2y 的最大值为( )
A．12 B．10 C．8 D．2
答案 B
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z＝4x＋2y 可转化为 y＝－2x＋z
2
，
作出直线 y＝－2x 并平移，显然当其过点 A 时纵截距z
2
最大．
解方程组 x＋y＝3，
y＝1
得 A(2,1)，∴zmax＝10.
6．已知 a、b、c 满足 cac B．c(b－a)>0 C．ab2>cb2 D．ac(a－c)<0
答案 C
解析 ∵c0，c<0.
而 b 与 0 的大小不确定，在选项 C 中，若 b＝0，则 ab2>cb2 不成立．
7．已知集合 M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则 M∩N 为( )
A．{x|－4≤x<－2 或 33}
D．{x|x<－2 或 x≥3}
答案 A
解析 ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2 或 x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2 或 30 时，y≥2，x<0 时，y≤－2；
选项 B 中，cos x≠1，故最小值不等于 2；
选项 C 中， x2＋3
x2＋2
＝x2＋2＋1
x2＋2
＝ x2＋2＋ 1
x2＋2
，
当 x＝0 时，ymin＝3 2
2 .
选项 D 中，ex＋4
ex
－2>2 ex·4
ex
－2＝2，
当且仅当 ex＝2，
即 x＝ln 2 时，ymin＝2，适合．
10．若 x，y 满足约束条件
x＋y≥1
x－y≥－1
2x－y≤2
，目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1,0)处取得最小
值，则 a 的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)
答案 B
解析 作出可行域如图所示，
直线 ax＋2y＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1<－a
2<2，
即－40，y>0，∴x－8>0，得到 y＝ 2x
x－8
，
则μ＝x＋y＝x＋ 2x
x－8
＝x＋2x－16＋16
x－8
＝(x－8)＋ 16
x－8
＋10≥2 x－8· 16
x－8
＋10＝18，
当且仅当 x－8＝ 16
x－8
，即 x＝12，y＝6 时取“＝”．
12．若实数 x，y 满足 x－y＋1≤0，
x>0，
则 y
x－1
的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．[1，＋∞)
答案 B
解析 可行域如图阴影， y
x－1
的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得 y
x－1
>1
或 y
x－1<－1.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13．若 A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则 A、B 的大小关系为________．
答案 A0 的解集是
________________________________________________________________________．
答案 {x|－56}
15．如果 a>b，给出下列不等式：
①1
a<1
b
；②a3>b3；③ a2> b2；④2ac2>2bc2；
⑤a
b>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
答案 ②⑥
解析 ①若 a>0，b<0，则1
a>1
b
，故①不成立；
②∵y＝x3 在 x∈R 上单调递增，且 a>b.
∴a3>b3，故②成立；
③取 a＝0，b＝－1，知③不成立；
④当 c＝0 时，ac2＝bc2＝0,2ac2＝2bc2，
故④不成立；
⑤取 a＝1，b＝－1，知⑤不成立；
⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b)
＝1
2
[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]>0，
∴a2＋b2＋1>ab＋a＋b，故⑥成立．
16．一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400
千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v
20 2 千米，那么这批货物全部运到 B 市，最快
需要________小时．
答案 8
解析 这批货物从 A 市全部运到 B 市的时间为 t，则
t＝400＋16
v
20 2
v
＝400
v
＋16v
400
≥2 400
v
×16v
400
＝8(小时)，
当且仅当400
v
＝16v
400
，即 v＝100 时等号成立，
此时 t＝8 小时．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分)
17．(12 分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0 的解集是{x|－30；
(2)b 为何值时，ax2＋bx＋3≥0 的解集为 R.
解 (1)由题意知 1－a<0 且－3 和 1 是方程(1－a)x2－4x＋6＝0 的两根，
∴
1－a<0
4
1－a
＝－2
6
1－a
＝－3
，解得 a＝3.
∴不等式 2x2＋(2－a)x－a>0
即为 2x2－x－3>0，解得 x<－1 或 x>3
2.
∴所求不等式的解集为 x|x<－1 或 x>3
2 .
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为 3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为 R，则 b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
18．(12 分)解关于 x 的不等式 56x2＋ax－a2<0.
解 原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即 x＋a
7 x－a
8 <0.
①当－a
70 时，－a
7a
8
，即 a<0 时，a
80 时，原不等式的解集为 x|－a
70，∴当 x＝4，y＝6 时，z 取得最大值．
答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元
的前提下，使可能的盈利最大．
21．(12 分)设 a∈R，关于 x 的一元二次方程 7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0 有两实根 x1，
x2，且 00，
f1<0，
f2>0
⇒
a2－a－2>0，
7－a＋13＋a2－a－2<0，
28－2a＋13＋a2－a－2>0
⇒
a2－a－2>0，
a2－2a－8<0，
a2－3a>0
⇒
a<－1 或 a>2，
－23
⇒－2
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