【数学】2018届一轮复习北师大版平面向量的概念及应用教案 13页

第十四讲 平面向量的概念及应用 项目 ]‎ 内容 课题 平面向量的概念及应用（共 6 课时）‎ 修改与创新 教学目标 ‎（1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；‎ ‎（2）向量的线性运算 ‎①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；‎ ‎②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；‎ ‎③了解向量的线性运算性质及其几何意义。‎ ‎（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ‎①了解平面向量的基本定理及其意义；‎ ‎②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；‎ ‎③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；‎ ‎④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。‎ 命题走向 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 ‎ 预测2017年高考：‎ ‎（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；‎ ‎（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。‎ 多媒体课件 教学准备 教学过程 一．知识梳理：‎ ‎1．向量的概念 ‎①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。‎ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。‎ ‎②零向量 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）‎ ‎③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。‎ ‎④平行向量（共线向量）‎ 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。‎ 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。‎ ‎⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。‎ ‎2．向量的运算 ‎（1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。‎ 设，则+==。‎ 规定：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）向量加法满足交换律与结合律；‎ 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”‎ ‎（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。‎ ‎（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。‎ 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。‎ 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。‎ ‎（2）向量的减法 ‎ ‎①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。‎ 记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。‎ ‎②向量减法 向量加上的相反向量叫做与的差，‎ 记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。‎ ‎③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。‎ ‎（3）实数与向量的积 ‎①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。‎ ‎②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。‎ ‎3．两个向量共线定理：‎ 向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。‎ ‎4．平面向量的基本定理 如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎5．平面向量的坐标表示 ‎（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。‎ 规定：‎ ‎（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；‎ ‎（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。‎ ‎（2）平面向量的坐标运算：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若=(x,y)，则=(x, y)；‎ ‎④若，则。‎ 二．典例分析 ‎[例1]　给出下列命题：‎ ‎①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；‎ ‎④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中假命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎[自主解答]　①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥.‎ 又∵A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝.‎ ‎③不正确．两向量不能比较大小．‎ ‎④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ ‎[答案]　C 由题悟法 ‎1．平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．‎ ‎2．几个重要结论 ‎(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；‎ ‎(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；‎ ‎(3)向量平行与起点的位置无关.‎ 以题试法 ‎1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ 向量的线性运算 典题导入 ‎[例2]　(1)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)‎ A．0　　　　　　　 B．‎ C． D． ‎ ‎(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[自主解答]　(1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，＝，＝，‎ ‎∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝CF―→.‎ ‎(2)∵＝＋，＝＋，‎ ‎∴2＝＋＋＋.‎ 又∵＝2，‎ ‎∴2＝＋＋ ‎＝＋＋(－)‎ ‎＝＋.‎ ‎∴＝＋，即λ＝.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)A 若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且||＝||，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为________．‎ 解析：∵＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－＝λ＋μ.‎ ‎∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3.‎ 答案：3‎ 由题悟法 在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．‎ 以题试法 ‎2．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：‎ ‎①＋＝＋；②＋＝＋；‎ ‎③－＝＋.其中正确的有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选C　①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．‎ 共 线 向 量 典题导入 ‎[例3]　设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎[自主解答]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，‎ ‎＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)‎ ‎＝2a＋8b＋3a－3b ‎＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线，‎ 又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)∵ka＋b与a＋kb共线，‎ ‎∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即ka＋b＝λa＋λkb.‎ ‎∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是不共线的两个非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0.‎ ‎∴k＝±1.‎ 由题悟法 ‎1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．‎ ‎2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．‎ 以题试法 ‎3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．‎ 解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.‎ 因为a，b不共线，所以有 解之得t＝.‎ 故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．‎ ‎[例1]　如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点 O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．‎ ‎[自主解答]　∵＝2，∴△DOC∽△BOA，且＝，∴＝＝(＋)＝＝a＋b.‎ ‎[答案]　a＋b 由题悟法 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．‎ 以题试法 ‎1．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D．1‎ 解析：选A　设＝m＝m(－)(0≤m≤1)，则＝＋＝(1－m) ＋m，＝＝＋，所以λ＋μ＝＋＝.‎ 平面向量的坐标运算 典题导入 ‎[例2]　(1)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是(　　)‎ A．(，－1)　　　　　　　 B．(－1，－)‎ C．(－，－1) D．(－1, )‎ ‎(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.‎ ‎①求3a＋b－3c；‎ ‎②求满足a＝mb＋nc的实数m，n.‎ ‎[自主解答]　(1)∵a＝(，1)，b＝(0，－2)，‎ ‎∴a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)．‎ ‎(2)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)‎ ‎＝(6，－42)．‎ ‎②∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ ‎∴解得 ‎[答案]　(1)D 本例中第(2)题增加条件＝3c，＝2b，求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解：∵＝－＝3c，‎ ‎∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．[ 学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．‎ 由题悟法 ‎1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．‎ ‎2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．‎ ‎[注意]　向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．‎ 以题试法 ‎2．已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，＝a＋λb，O为坐标原点，若点C在函数y＝sin的图象上，则实数λ的值为________．‎ 解析：由题意得＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，‎ 故点C的坐标为(6,4＋2λ)，‎ 根据条件得4＋2λ＝sin＝1，解得λ＝－.‎ 答案：－ 平面向量共线的坐标表示 典题导入 ‎[例3]　已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C．1 D．2‎ ‎[自主解答]　可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝.‎ ‎[答案]　B 在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行， 是同向还是反向？‎ 解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，‎ 若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.‎ ‎∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．[ 学&科&网]‎ 即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．‎ 由题悟法 a∥b的充要条件有两种表达方式 ‎(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；‎ ‎(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第(2)种无b≠0限制．‎ 以题试法 ‎3．(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－ D. 解析：选C　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.‎ ‎(2)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 解析：选D　∵A，B，C三点共线，∴存在实数t，满足＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，‎ ‎∴即λμ＝1.‎ 板书设计 平面向量的概念及应用 ‎1．向量的概念 ‎ ‎①向量 ②零向量 ③单位向量 ④平行向量（共线向量） ⑤相等向量 ‎2．向量的运算 ‎（1）向量加法 ‎（2）向量的减法 ‎ ‎（3）实数与向量的积 ‎3．两个向量共线定理：‎ 向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。‎ ‎4．平面向量的基本定理 如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。‎ ‎5．平面向量的坐标表示 ‎6. 平面向量的坐标运算：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若=(x,y)，则=(x, y)；‎ ‎④若，则。‎ 教学反思 用基向量表示指定向量，学生做这样的题目往往有一定的困难，需要对此类问题进行归纳总结：‎ 其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．把要表示的向量一步一步向基向量靠拢，有时需要列方程组进行求解。此类问题还需补充适当题目加强训练。‎ 用向量判断三点共线有几种不同的表示形式，结合图形引导学生推导，了解相关结论，强化向量知识的应用。‎ ‎ ‎