【数学】2018届一轮复习北师大版第八章解析几何第三节圆的方程教案 9页

第三节　圆的方程 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；‎ ‎2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。‎ ‎2015，全国卷Ⅰ，14,5分(圆的方程)‎ ‎2015，全国卷Ⅱ，7,5分(圆的方程)‎ ‎2015，江苏卷，10,5分(圆的方程)‎ ‎2014，陕西卷，12,5分(圆的方程)‎ 以选择填空形式出现，难度不大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．圆的定义 ‎(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。‎ ‎(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。‎ ‎2．圆的标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。‎ ‎3．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－‎4F＞0，其中圆心为，半径r＝。‎ ‎4．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种。‎ 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，‎ ‎(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；‎ ‎(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；‎ ‎(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。‎ 微点提醒 ‎1．解答圆的问题的关键 注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。‎ ‎2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－‎4F>0这一条件。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修2P‎132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　)‎ A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1‎ B．(x－3)2＋(y－1)2＝1‎ C．(x＋3)2＋(y－1)2＝2‎ D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝2‎ ‎【解析】　设圆的方程是(x－3)2＋(y＋1)2＝r2。因为直线3x＋4y＝0与圆相切，所以圆的半径r＝＝1，因此，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．(必修2P‎124A组T4改编)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为____________________。‎ ‎【解析】　因为圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，‎ 所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2。‎ 又因为A(5,2)，B(－1,4)在圆上。‎ 所以解得a＝1，r2＝20。‎ 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20。‎ ‎【答案】　(x－1)2＋y2＝20‎ 二、双基查验 ‎1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D．2‎ ‎【解析】　由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　)‎ A．a＜－2或a＞ B．－＜a＜0‎ C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜ ‎【解析】　方程表示圆，则a2＋(‎2a)2－4(‎2a2＋a－1)＞0，‎ ‎∴－2＜a＜。故选D。 ‎ ‎【答案】　D ‎3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1‎ C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1‎ ‎【解析】　∵点(1,1)在圆内，‎ ‎∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故选A。‎ ‎【答案】　A ‎4．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋‎5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________。‎ ‎【解析】　由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2。当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5。当a＝2时，方程不表示圆。‎ ‎【答案】　(－2，－4)　5‎ ‎5．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________。‎ ‎【解析】　设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9。‎ ‎【答案】　(x－2)2＋y2＝9‎ 微考点　大课堂 考点一 ‎ 求圆的方程 ‎【典例1】　根据下列条件，求圆的方程：‎ ‎(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；‎ ‎(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)。‎ ‎【解析】　(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0。③‎ 设x1，x2是方程③的两根，‎ 由|x1－x2|＝6有D2－‎4F＝36，④‎ 由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0。‎ 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0。‎ ‎(2)解法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，‎ ‎∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8。‎ 解法二：设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，‎ 根据已知条件得解得 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8。‎ ‎【答案】　(1)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0‎ ‎(2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8‎ 反思归纳　1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。‎ ‎2．待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值。‎ ‎【变式训练】　(1)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2‎ B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ ‎(2)经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________。‎ ‎【解析】　(1)设圆心坐标为(a，－a)，‎ 则＝，‎ 即|a|＝|a－2|，解得a＝1，‎ 故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，‎ 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。‎ ‎(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则可得a＝4，b＝5，‎ r2＝10。‎ 所以圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10。‎ ‎【答案】　(1)B　(2)(x－4)2＋(y－5)2＝10‎ 考点二 ‎ 与圆有关的最值问题……多维探究 角度一：斜率型、截距型、距离型最值问题 ‎【典例2】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________。‎ ‎【解析】　如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆。‎ 设＝k，即y＝kx，‎ 当圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时，即直线与圆相切，斜率取得最大、最小值。‎ 由＝，解得k2＝3，‎ ‎∴kmax＝，kmin＝－，‎ ‎(也可由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°)‎ ‎【答案】　　－ ‎【母题变式】　1.在本典例条件下，求y－x的最小值和最大值。‎ ‎【解析】　设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，切于第一象限时，截距b取最大值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，‎ 故(y－x)min＝－2－，(y－x)max＝－2＋。‎ ‎【答案】　(y－x)min＝－2－，‎ ‎(y－x)max＝－2＋ ‎2．在本典例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值。‎ ‎【解析】　x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)。‎ 又因为圆心到原点的距离为＝2，‎ 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，‎ x2＋y2的最小值为(2－)2＝7－4。‎ ‎【答案】　(x2＋y2)max＝7＋4，‎ ‎(x2＋y2)min＝7－4 角度二：与圆有关的范围问题 ‎【典例3】　设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________。‎ ‎【解析】　如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON。M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N。‎ 设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sinθ≥，即≥。而|ON|＝1，所以|OM|≤。因为M为(x0,1)，所以≤，‎ 所以x≤1，所以－1≤x0≤1，所以x0的取值范围为[－1,1]。‎ ‎【答案】　[－1,1]‎ 反思归纳　1.形如μ＝的最值问题，可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题。‎ ‎2．形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解。‎ ‎3．形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题。‎ ‎4．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解。否则可用代数法转化为函数求最值。‎ ‎【变式训练】　(2016·邯郸二模)已知圆O：x2＋y2＝8，点A(2,0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________。‎ ‎【解析】　设|MA|＝a，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝·≥·2＝，当且仅当a＝2时等号成立，∴∠OMA≤，即∠OMA的最大值为。‎ ‎【答案】　 考点三 ‎ 与圆有关的轨迹问题 ‎【典例4】　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程。‎ ‎【解析】　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)。‎ 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4。‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1。‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)。‎ 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。‎ 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，‎ 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4。‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0。‎ ‎【答案】　(1)(x－1)2＋y2＝1‎ ‎(2)x2＋y2－x－y－1＝0‎ 反思归纳　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。‎ ‎2．定义法：根据圆、直线等定义列方程。‎ ‎3．几何法：利用圆的几何性质列方程。‎ ‎4．代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。‎ ‎【变式训练】　已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点。‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积。‎ ‎【解析】　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，‎ 所以圆心为C(0,4)，半径为4。‎ 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)。‎ 由题设知·＝0，‎ 故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－3)2＝2。‎ 由于点P在圆C的内部，‎ 所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2。‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆。‎ 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM。‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为y－2＝－(x－2)，‎ 即x＋3y－8＝0。‎ 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，‎ ‎|PM|＝，‎ 所以△POM的面积为。‎ ‎【答案】　(1)(x－1)2＋(y－3)2＝2‎ ‎(2)x＋3y－8＝0，△POM的面积为 微考场　新提升 ‎1．原点必位于圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的(　　)‎ A．内部 B．圆周上 C．外部 D．均有可能 解析　将x＝0，y＝0代入x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2，得(a－1)2>0，所以原点必位于圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(a>1)的外部。故选C。‎ 答案　C ‎2．(2016·潍坊一模)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y±2)2＝3‎ B．(x－2)2＋(y±)2＝3‎ C．(x－2)2＋(y±2)2＝4‎ D．(x－2)2＋(y±)2＝4‎ 解析　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，∴a＝2。又圆C与y轴相切，所以半径r＝2，则(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，故选D。‎ 答案　D ‎3．(2017·济南模拟)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)‎ A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1‎ C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1‎ 解析　设圆C1的圆心坐标C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(a，b)，依题意得 解得 所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1。故选B。‎ 答案　B ‎4．一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________。‎ 解析　设圆心为(a,0)(a>0)，则半径为4－a，则(4－a)2＝a2＋22，解得a＝，故圆的方程为2＋y2＝。‎ 答案　2＋y2＝ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________。‎ 解析　因为直线mx－y－‎2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－‎2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2。‎ 答案　(x－1)2＋y2＝2‎