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- 2021-06-16 发布
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第 5 讲 函数的单调性与最值
考纲要求 考情分析 命题趋势
理解函数的单调性、最
大值、最小值及其几何意义.
2017· 天 津
卷，6
2017· 浙 江
卷，17
2016· 北 京
卷，4
2016· 北 京
卷，10
函数的单调性和最值是高考中的热点
问题，考查内容经常是利用单调性求最值
或者求参数的范围.
分值：5 分
1．增函数与减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.
(1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的__任意两个__自变量的值 x1，x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是__减函数__.
2．单调性与单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有
(严格的)__单调性__，区间 D 叫做 y＝f(x)的__单调区间__.
3．函数的最大值与最小值
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有__f(x)≤M__；存在 x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称
M 是函数 y＝f(x)的最大值．
(2)对于任意的 x∈I，都有__f(x)≥M__；存在 x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称
M 是函数 y＝f(x)的最小值．
4．函数单调性的常用结论
区间 D 上单调递增 区间 D 上单调递减
定义
法
x1f(x2)
图象
法
函数图象是上升的 函数图象是下降的
导数
法
导数大于零 导数小于零
运算
法
递增＋递增 递减＋递减
复合
法
内外层单调性相同 内外层单调性相反
5．对勾函数的单调性
对勾函数 y＝x＋a
x(a>0)的递增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)；递减区间为(－ a，0)
和(0， a)，且对勾函数为奇函数．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数 y＝1
x
的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(2)函数 f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 f(x)的单调递增区间为[a，b]．( × )
(3)若 f(x)是增函数，g(x)是增函数，则 f(x)·g(x)也是增函数．( × )
(4)已知函数 y＝f(x)在 R 上是增函数，则函数 y＝f(－x)在 R 上是减函数．( √ )
解析 (1)错误．一个函数有多个单调区间时应分开表示，不能用并集符号“∪”连接，
也不能用“或”连接．
(2)错误．f(x)在区间[a，b]上是递增的并不能排除 f(x)在其他区间上单调递增，而 f(x)
的单调递增区间为[a，b]意味着 f(x)在其他区间上不可能是递增的．
(3)错误．举反例：设 f(x)＝x，g(x)＝x－2 都是定义域 R 上的增函数，但是 f(x)·g(x)＝x2
－2x 在 R 上不是增函数．
(4)正确．易知函数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称，由对称性可知结论正确．
2．下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( B )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
解析 由所给选项知只有 y＝x3 的定义域是 R 且为增函数．故选 B．
3．若函数 y＝ax＋1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2，则实数 a 的值是( C )
A．2 B．－2
C．2 或－2 D．0
解析 当 a>0 时，由题意得 2a＋1－(a＋1)＝2，则 a＝2；当 a<0 时，a＋1－(2a＋1)＝2，
即 a＝－2，所以 a＝±2.故选 C．
4．函数 f(x)＝log1
2(x2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.
解析 函数 y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数 y＝f(x)由 y＝log1
2t 与
t＝g(x)＝x2－4 复合而成，又 y＝log1
2t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递
减，所以函数 y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
5．设 a 为常数，函数 f(x)＝x2－4x＋3.若 f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范
围是__[2，＋∞)__.
解析 ∵f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1，且当 x∈[2－a，＋∞)
时，函数 f(x＋a)单调递增，∴2－a≤0，∴a≥2.
一 判断(或证明)函数的单调性
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1)可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．
(2)可导函数则可以利用导数判断，但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义
法进行判断．
【例 1】 判断并证明函数 f(x)＝ ax
x2－1
(其中 a>0)在 x∈(－1,1)上的单调性．
解析 f′(x)＝ax2－1－2ax2
x2－12
＝－ax2＋1
x2－12 .
又 a>0，所以 f′(x)<0，所以函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
二 求函数的单调区间
求函数单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．
(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性
写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．
注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开
写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．
【例 2】 求下列函数的单调区间．
(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log1
2(x2－3x＋2)．
解析 (1)由于 y＝
－x2＋2x＋1，x≥0，
－x2－2x＋1，x<0，
即 y＝
－x－12＋2，x≥0，
－x＋12＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)
和(1，＋∞)．
(2)令 u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作 y＝log1
2u 与 u＝x2－3x＋2 的复合函数．
令 u＝x2－3x＋2>0，则 x<1 或 x>2.
∴函数 y＝log1
2(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
又 u＝x2－3x＋2 的对称轴为 x＝3
2
，且开口向上，
∴u＝x2－3x＋2 在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，
而 y＝log1
2u 在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y＝log1
2(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
三 求函数的最值(值域)
求函数最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(值域)．
(2)图象法(数形结合法)：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(值
域)．
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不
等式求出最值(值域)．
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(值域)．
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值
域)．
(6)分离常数法：形如 y＝cx＋d
ax＋b
(ac≠0)的函数的最值(值域)经常使用“分离常数法”求
解．
(7)配方法：配方法是求“二次函数型函数”最值(值域)的基本方法，形如 F(x)＝a[f(x)]2
＋bf(x)＋c(a≠0)的函数的最值(值域)问题，均可使用配方法．
另外，还可用判别式法、有界性法等来求最值(值域)．
【例 3】 (1)函数 f(x)＝
1
x
，x≥1，
－x2＋2，x<1
的最大值为__2__.
(2)函数 y＝x＋ x－1的最小值为__1__.
解析 (1)当 x≥1 时，函数 f(x)＝1
x
为减函数，所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1；
当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值为
2.
(2)令 t＝ x－1，则 t≥0，且 x＝t2＋1，所以原函数变为 y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得 y＝ t＋1
2 2
＋3
4
，又因为 t≥0，所以 y≥1
4
＋3
4
＝1.故函数 y＝x＋ x－1的最小值为 1.
【例 4】 求下列函数的值域．
(1)y＝5x－1
4x＋2
，x∈[－3，－1]；(2)y＝2x＋ 1－2x；
(3)y＝x＋4＋ 9－x2；(4)y＝2x2＋4x－7
x2＋2x＋3
；
(5)y＝ x＋32＋16＋ x－52＋4.
解析 (1)(有界性法)由 y＝5x－1
4x＋2
，得 x＝2y＋1
5－4y
.
∵－3≤x≤－1，∴－3≤2y＋1
5－4y
≤－1，解得8
5
≤y≤3，
∴函数的值域为
8
5
，3 .
(2)(代数换元法)令 t＝ 1－2x(t≥0)，则 x＝1－t2
2
，
∴y＝－t2＋t＋1＝－ t－1
2 2＋5
4.
∴当 t＝1
2
，即 x＝3
8
时，y 取最大值，ymax＝5
4
，且 y 无最小值，
∴函数的值域为 －∞，5
4 .
(3)(三角换元法)令 x＝3cos θ，θ∈[0，π]，
则 y＝3cos θ＋4＋3sin θ＝3 2sin θ＋π
4 ＋4.
∵0≤θ≤π，∴π
4
≤θ＋π
4
≤5π
4
，∴－ 2
2
≤sin θ＋π
4 ≤1.
∴1≤y≤3 2＋4，∴函数的值域为[1,3 2＋4]．
(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为 yx2＋2yx＋3y＝2x2＋4x－7，
整理得(y－2)x2＋2(y－2)x＋3y＋7＝0，
显然 y≠2，将上式看作关于 x 的一元二次方程，
易知原函数的定义域为 R，则上述关于 x 的一元二次方程有实根，所以[2(y－2)]2－4(y
－2)(3y＋7)≥0，
解不等式得－9
2
≤y≤2，
又 y≠2，∴原函数的值域为 －9
2
，2 .
(5)(数形结合法)如图，函数 y＝ x＋32＋16＋ x－52＋4的几何意义为平面内一点
P(x,0)到点 A(－3,4)和点 B(5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出 B 关于 x 轴的对称
点 B′(5，－2)，连接 AB′交 x 轴于一点 P，此时距离之和最小，∴ymin＝|AB′|＝ 82＋62＝
10，又 y 无最大值，所以函数的值域为[10，＋∞)．
四 函数单调性的应用
(1)含“f”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式，然
后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在
外层函数的定义域内．
(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间
内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结
合的尽量用图象法求解．
(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式
(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a，b]上是
单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．
【例 5】(1)(2017·天津卷)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数．若 a＝－f log2
1
5 ，b＝f(log24.1)，
c＝f(20.8)，则 a，b，c 的大小关系为( C )
A．a0 成立，那么 a
的取值范围是__
3
2
，2 __.
解析 (1)由 f(x)是奇函数可得 a＝－f log2
1
5 ＝f(log25)．
∵log25>log24.1>1og24＝2>20.8，且函数 f(x)是增函数，
∴c0，
a>1，
2－a×1＋1≤a，
解得3
2
≤a<2，∴a 的取值范围是
3
2
，2 .
1．若函数 f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则实数 a 的取值范围是( B )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
解析 因为函数 f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则有 a>1 且 6－2a>0，解得 10.
课时达标 第 5 讲
[解密考纲]本考点考查函数的单调性，单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前
的位置，题目难度中等；有时也与其他知识相结合出解答题，有一定难度．
一、选择题
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( C )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ 1
x＋1
D．f(x)＝－|x|
解析 当 x>0 时，f(x)＝3－x 为减函数．
当 x∈ 0，3
2 时，f(x)＝x2－3x 为减函数；
当 x∈
3
2
，＋∞ 时，f(x)＝x2－3x 为增函数．
当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 1
x＋1
为增函数．
当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
2．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是( A )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析 由于 f(x)＝|x－2|x＝ x2－2x，x≥2，
－x2＋2x，x<2，
结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．已知函数 f(x)＝log1
2(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数 a 的取值范围是
( D )
A．(－∞，2) B．[2，＋∞)
C． －1
2
，2 D． －1
2
，2
解析 令 t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知 f(t)＝log1
2t 在其定义域上单调递减，要使 f(x)＝
log1
2(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则 t＝g(x)＝x2－ax＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，
且 t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即
－－a
2
≤1，
g1>0，
所以
a≤2，
a>－1
2
，
即－1
2f(a)，则实数 a 的取值范围是( C )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析 f(x)＝ x2＋4x＝x＋22－4，x≥0，
4x－x2＝－x－22＋4，x<0.
由 f(x)的图象可知 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由 f(2－a2)>f(a)，得 2－a2>a，
即 a2＋a－2<0，解得－2f(1)的实数 x 的取值范围是__(－∞，0)∪(1，
＋∞)__.
解析 由题意知1
x<1，即 x>1 或 x<0.
9．(2017·浙江卷)已知 a∈R，函数 f(x)＝|x＋4
x
－a|＋a 在区间[1,4]上的最大值是 5，
则 a 的取值范围是__
－∞，9
2 __.
解析 当 x∈[1,4]时，令 t＝x＋4
x
∈[4,5]，则 f(x)＝|t－a|＋a，结合数轴易知，t＝9
2
为[4,5]
的对称轴，
当 a≤9
2
时，a 靠近左端点 4，此时|t－a|≤|5－a|＝5－a，
即 f(x)max＝5－a＋a＝5，符合题意．
当 a>9
2
时，a 靠近右端点 5，此时|t－a|≤|4－a|＝a－4，
即 f(x)max＝a－4＋a＝2a－4>5，不符合题意．
综上可得，a 的取值范围是 －∞，9
2 .
三、解答题
10．(2018·甘肃嘉峪关一中期中)已知函数 f(x)＝x＋2
x
.
(1)写出函数 f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数 f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求 f(x)在 x∈[2,8]上的最大值和最
小值．
解析 (1)定义域为{x|x≠0}．又 f(x)＝1＋2
x
，
∴值域为{y|y≠1}．
(2)设 00，x2－x1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
∴函数 f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，在 x∈[2,8]上，f(x)的最大值为 f(2)＝2，最
小值为 f(8)＝5
4.
11．已知 f(x)＝x2＋2x＋a
x
，x∈[1，＋∞)．
(1)当 a＝1
2
时，用定义证明函数的单调性并求函数 f(x)的最小值；
(2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
解析 (1)当 a＝1
2
时，f(x)＝x＋ 1
2x
＋2，任取 1≤x11，∴2x1x2－1>0.
又 x1－x2<0，∴f(x1)0 恒成立，
则 x2＋2x＋a>0，
x≥1
⇔ a>－x2＋2x，
x≥1，
等价于 a 大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)
上的最大值．
∵φ(x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上递减，∴当 x＝1 时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，∴
a>－3，故实数 a 的取值范围是(－3，＋∞)．
12．已知函数 f(x)＝lg x＋a
x
－2 ，其中 a 是大于 0 的常数．
(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)当 a∈(1,4)时，求函数 f(x)在[2，＋∞)上的最小值．
解析 (1)由 x＋a
x
－2>0，得x2－2x＋a
x
>0.
a>1 时，x2－2x＋a>0 恒成立，定义域为(0，＋∞)；
a＝1 时，定义域为{x|x>0 且 x≠1}；
01＋ 1－a}．
(2)设 g(x)＝x＋a
x
－2，
当 a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－a
x2
＝x2－a
x2 >0 恒成立，
∴g(x)＝x＋a
x
－2 在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg x＋a
x
－2 在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg x＋a
x
－2 在[2，＋∞)上的最小值为 f(2)＝lga
2.
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