高考卷 普通高等学校招生考试北京理科数学 11页

2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 本试卷分第 I卷（选择题）和第 II（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 9页，共 150分．考试时间 120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第 I卷（选择题 共 40分） 注意事项： 1．答第 I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上． 一、本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知 cos tan 0   ，那么角 是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数 ( ) 3 (0 2)xf x x  ≤ 的反函数的定义域为（ ） Ａ． (0 )， Ｂ． (1 9]， Ｃ． (0 1)， Ｄ．[9 )， 3．平面∥平面  的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线 a a  ， ∥ ， ∥ Ｂ．存在一条直线 a a a ， ， ∥ Ｃ．存在两条平行直线 a b a b a b    ， ， ， ， ∥ ， ∥ Ｄ．存在两条异面直线 a b a a b  ， ， ， ∥ ， ∥ 4．已知O是 ABC△ 所在平面内一点，D为 BC边中点，且 2OA OB OC   0    ，那么 （ ） Ａ． AO OD   Ｂ． 2AO OD   Ｃ． 3AO OD   Ｄ． 2AO OD   5．记者要为 5名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排 在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 6．若不等式组 2 2 0 x y x y y x y a         ≥ ， ≤ ， ≥ ， ≤ 表示的平面区域是一个三角形，则 a的取值范围是（ ） Ａ． 4 3 a≥ Ｂ．0 1a ≤ Ｃ． 41 3 a≤ ≤ Ｄ．0 1a ≤ 或 4 3 a≥ 7．如果正数a b c d， ， ， 满足 4a b cd   ，那么（ ） Ａ． ab c d≤ ，且等号成立时 a b c d， ， ， 的取值唯一 Ｂ． ab c d≥ ，且等号成立时 a b c d， ， ， 的取值唯一 Ｃ． ab c d≤ ，且等号成立时 a b c d， ， ， 的取值不唯一 Ｄ． ab c d≥ ，且等号成立时 a b c d， ， ， 的取值不唯一 8．对于函数① ( ) lg( 2 1)f x x   ，② 2( ) ( 2)f x x  ，③ ( ) cos( 2)f x x  ，判断如下 三个命题的真假： 命题甲： ( 2)f x  是偶函数； 命题乙： ( )f x 在 ( ) ， 上是减函数，在 (2 )， 上是增函数； 命题丙： ( 2) ( )f x f x  在 ( ) ， 上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．② 2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷） 第 II卷（共 110分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分．把答案填在题中横线上． 9． 2 2 (1 )i   ． 10．若数列 na 的前 n项和 2 10 ( 1 2 3 )nS n n n   ，，， ，则此数列的通项公式为 ；数列 nna 中数值最小的项是第 项． 11．在 ABC△ 中，若 1tan 3 A  ， 150C   ， 1BC  ，则 AB  ． 12．已知集合  | 1A x x a  ≤ ，  2 5 4 0B x x x   ≥ ．若 A B  ，则实数 a的 取值范围是 ． 13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一 个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直 角三角形中较小的锐角为 ，那么 cos 2 的值等于 ． 14．已知函数 ( )f x ， ( )g x 分别由下表给出 则 [ (1)]f g 的值为 ；满足 [ ( )] [ ( )]f g x g f x 的 x的值是 ． 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共 13分） 数列 na 中， 1 2a  ， 1n na a cn   （ c是常数， 1 2 3n  ，，， ），且 1 2 3a a a， ， 成公比不 为1的等比数列． （I）求 c的值； （II）求 na 的通项公式． 16．（本小题共 14分） 如图，在Rt AOB△ 中， π 6 OAB  ，斜边 4AB  ．Rt AOC△ 可 以通过Rt AOB△ 以直线 AO为轴旋转得到，且二面角 B AO C  是直二面角．动点D的斜边 AB上． （I）求证：平面COD 平面 AOB； （II）当D为 AB的中点时，求异面直线 AO与CD所成角的大小； （III）求CD与平面 AOB所成角的最大值． 17．（本小题共 14分） 矩形 ABCD的两条对角线相交于点 (2 0)M ， ， AB边所在直线的方程为 3 6 0x y   ，点 ( 11)T  ，在 AD边所在直线上． （I）求 AD边所在直线的方程； （II）求矩形 ABCD外接圆的方程； （III）若动圆 P过点 ( 2 0)N  ， ，且与矩形 ABCD的外接圆外切，求动圆 P的圆心的轨迹方 程． x 1 2 3 ( )f x 1 3 1 x 1 2 3 ( )g x 3 2 1 O C A D B 18．（本小题共 13分） 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会 公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活 动次数恰好相等的概率． （III）从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人 参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布 列及数学期望 E ． 19．（本小题共 13分） 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 2r，短半轴长为 r，计划将此钢板切割成等腰梯 形的形状，下底 AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记 2CD x ，梯形面积 为 S． （I）求面积 S以 x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积 S的最大值． 20．已知集合  1 2 ( 2)kA a a a k ， ， ， ≥ ，其中 ( 1 2 )ia i k Z ，， ， ，由 A中的元素构 成两个相应的集合：  ( )S a b a A b A a b A    ， ， ， ，  ( )T a b a A b A a b A    ， ， ， ． 其中 ( )a b， 是有序数对，集合 S和T 中的元素个数分别为m和 n． 若对于任意的 a A ，总有 a A  ，则称集合 A具有性质 P． （I）检验集合 01 2 3，，， 与 1 2 3 ，， 是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应 的集合 S和T ； （II）对任何具有性质 P的集合 A，证明： ( 1) 2 k kn  ≤ ； （III）判断m和 n的大小关系，并证明你的结论． 1 2 3 10 20 30 40 50 参加人数 活动次数 4r CD A B2r 2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）答案 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 1．∵ cos tan 0   ，∴ 当 cosθ<0，tanθ>0 时，θ∈第三象限；当 cosθ>0，tanθ<0时，θ ∈第四象限，选 C。 2．函数 ( ) 3 (0 2)xf x x  ≤ 的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为 (1 9]， ， ∴ 选 B。 3 ． 平 面 ∥ 平 面  的 一 个 充 分 条 件 是 “ 存 在 两 条 异 面 直 线 a b a a b  ， ， ， ∥ ， ∥ ”，选 D。 4． O 是 ABC△ 所在平面内一点， D 为 BC 边中点，∴ 2OB OC OD     ，且 2OA OB OC   0    ，∴ 2 2 0OA OD     ，即 AO OD   ，选 A 5． 5名志愿者先排成一排，有 5 5A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺 序，共有 5 52 4 A  =960种不同的排法，选 B。 6．不等式组 2 2 0 x y x y y x y a         ≥ ， ≤ ， ≥ ， ≤ ，将前三个不等式画出可行域，三 个顶点分别为(0，0)，(1，0)，( 3 2 ， 3 2 )，第四个不等式 x y a  ， 表示的是斜率为－1的直线的下方，∴ 当 0