北京市人大附中2021届高三数学10月月考试题（Word版附答案） 15页

www.ks5u.com 人大附中2021届高三第一学期10月月考 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎01.已知集合，则 A. {-1，0} B. {0，1}‎ C. {0} D. Φ ‎02.已知命题，则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎03.已知点是角α终边上一点，则sinα=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎04.已知向量a=(1,1),b(2,-1),若（λa+2b）∥(a-b)，则实数λ=‎ A. 8 B. -8‎ C. 2 D. -2‎ ‎05.以下选项中，满足的是 A. a=2,b=4 B. a=8,b=4‎ C. D. ‎ ‎06.下列函数中，既是奇函数又在区间（-1，1）内是增函数的是 A. B. f(x)=sinx C. D. ‎ ‎07.已知方程在区间[0,1]上有解，则实数a的取值范围是 A. [0,+∞) B.（-∞，0]‎ C. （-∞，-2] D. [-2,0]‎ ‎08.已知a是非零向量，m为实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎09.已知a>0,若函数有最小值，则实数a的取值范围是 A. （1，+∞） B. [1，+∞）‎ C. （，+∞） D. [，+∞）‎ ‎10.定义在[1，+∞）上的函数f(x)满足，当0≤x≤π时，f(x)=sinx;当x≥π时，f(x)=2f(x-π)若方程f(x)-x+m=0在区间[0,5π]上恰有3个不同的实根，则m的所有可能取值集合是 A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题共5小题每小题5分，共25分。请将答案全部填写在答题卡上。‎ ‎11.已知，则sinα= .‎ ‎12.在△ABC中，已知则△ABC的面积为 .‎ ‎13.已知点P(1,1),O为坐标原点，点A、B分别在x轴和y轴上，且满足PA⊥PB，则 ，的最小值为 .‎ ‎14.已知函数，若f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是 .‎ ‎15.将函数y=sinx图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数f(x)的图象，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，在下列命题中：‎ ‎①f(x)的图象关于点对称；‎ ‎②f(x)在(0,2π)内恰有5个极值点；‎ ‎③f(x)在区间内单调递减；‎ ‎④ω的取值范围是，‎ 所有真命题的序号是 .‎ 三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，每小题均包含1分的卷面分，请注意答题卡卷面的工整和整洁。‎ ‎16（本题13分）‎ 在△ABC中，已知a+2b=2ccosA.‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若a=5,c=7,求b.‎ ‎17（本题13分）‎ 已知函数,若 ，写出f(x)的最小正周期，并求函数f(x)在区间内的最小值.‎ 请从①ω=1，②ω=2这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.若选择多个条件分别作答，按第一个判分.‎ ‎18.（本题14分）‎ 已知函数.求正实数a的取值范围；‎ ‎（1）任意,存在，使得成立；‎ ‎（2）存在，使得成立 ‎19（本题15分）‎ 研究表明：在一节40分钟的数学课中，学生的注意力指数f(x)与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示.‎ 当x∈(0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数图象的一部分.‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）如果学生的注意力指数低于75，称为“欠佳听课状态”，则在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有多长？（精确到2分钟，参考数据：）‎ ‎20.（本题15分）‎ 已知函数f(x)=(x+a)lnx-(a+1)(x-1)‎ ‎（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；‎ ‎（2）是否存在实数a，使得f(x)在(0,+∞)具有单调性？若存在，求所有a的取值构成的集合；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本题15分）‎ 对非空数集A，B，定义，记有限集T的元素个数为.‎ ‎（1）A={1,3,5},B={1,2,4}，求 ‎（2）若当最大时，求A中最大元素的最小值.‎ ‎（3）若求的最小值.‎ 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ C C A D A B A A B D 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11. 12. 13.2,‎ ‎14. 15.①④‎ 三、解答题共6小题，共85分，每小题均包含1分的卷面分.‎ ‎16.（本题13分）‎ 解：（1）法1：因为a+2b=2ccosA,‎ 由正弦定理，得sinA+2sinB=2sinCcosA,················2分 又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ 所以，sinA+2sinAcosC+2cosAsinC=2sinCcosA，‎ 整理得：sinA·（1+2cosC）=0················4分 又A,B,C∈(0,π)，故sinA>0,‎ 所以···············7分 法2：因为a+2b=2ccosA,‎ 由余弦定理，知，‎ 所以，··············2分 整理得：，‎ 所以·············5分 又A，B，C∈(0,π)，‎ 所以···············7分 ‎（II）法1：由正弦定理，知，‎ 即：，‎ 所以，··············8分 因为C为钝角所以，··············9分 所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ‎··············11分 由正弦定理，得·············12分 法2：由余弦定理，知,‎ 即：，·············10分 整理得：‎ 解得：b=3或-8（舍）·············12分 ‎17.（本题13分）‎ 解：选择①：‎ ‎，最小正周期为2π·············4分 令t=sinx,则，·············6分 ‎，·············9分 由于上述关于t的二次函数在区间上单调递减，‎ 因此，当t=1,即时，f（x）取得最小值1·············12分 选择②：‎ ‎，最小正周期为π·············4分 因为f(x)=1+cos2x+sin2x·············6分 ‎·············8分 当时，，·············9分 又函数y=sinx在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，当，即时，‎ f(x)取得最小值·············12分 ‎18.（本题14分）‎ 解：（1）因为f(x)在区间（0，+∞）单调递减，‎ 所以时，············1分 因为g(x)在区间（0，+∞）内单调递增，‎ 所以时，············2分 依题意，，‎ 所以············5分 因为a>0,所以a≥2‎ 即正实数a的取值范围为[2,+∞) ············7分 ‎（II）当时 ‎············9分 依题意，‎ 因为a>0,所以，‎ 即正实数a的取值范围为············13分 ‎19.（本题15分）‎ 解：（1）当x∈(0,16]时，设，‎ 因为，‎ 所以，故············3分 当x∈[16,40]时，，‎ 由，‎ 解得a=-15,故············5分 所以············6分 ‎（II）x∈(0,16]时，令 解得，x∈(0,6) ············9分 当x∈[16,40]时，令 所以 所以x∈(18,40] ············12分 因为，在一节40分钟的数学课中，学生处于“欠佳听课状态”所持续的时间有 ‎（6-0）+（40-18）=28分钟············14分 ‎20.（本题15分）‎ 解：（1）因为f(x)=(x+a)lnx-(a+1)(x-1),‎ 所以f(1)=0············1分 ‎············3分 所以f’(1)=0············4分 所以所求切线方程为y=0············5分 ‎（II）令，则············6分 ‎（1）当a≤0时，g’(x)>0‎ 所以g(x)=f’(x)在(0,+∞)单调递增 ············7分 又因为f’(1)=0·，‎ 所以当x∈（0，1）时，f’(x)<0, f(x)单调递减；‎ 当x∈（1，+∞）时，f’(x)>0, f(x)单调递增············8分 ‎（2）当a>0时，令g’(x)=0,得x=a.‎ x,g’(x),g(x)的变化情况列表如下：‎ x ‎（0，a）‎ a ‎（a，+∞）‎ g’(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)=f’(x)‎ f’(a)‎ ‎①a=1时，f’(x)≥f’(1)=0（当且仅当x=1时取等号）‎ 所以f(x)在（0，+∞）内单调递增，具有单调性 ‎②当01时，x,f’(x),f(x)的变化情况列表如下：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，a）‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎0‎ 所以f(x)在（0，1）内单调递减，在（1，a）内单调递增············13分 综上所述，存在实数a使得f(x)在（0，+∞）具有单调性，所有a的取值所构成的集合为{1}············14分 ‎21.（本题15分）‎ 解：（I）因为A={1，3，5}，B={1，2，4}‎ 所以A-A={-4，-2，0，2，4}，A-A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，A-B={-3，-1，0，1，2，3，4}‎ 所以············6分 ‎（II）设 ‎①因为，‎ 所以 当A={1，5，9，13}时，因为B={1，2，3，4}‎ 所以 所以最大为16.‎ ‎②当时，A中元素与B中元素的差均不相同.‎ 所以 又因为B-B={-3,-2,-1,0,1,2,3}‎ 所以b-a,c-b,d-c≥4‎ 所以d-a≥12,d≥13‎ 综上，当最大时，A中最大元素的最小值为13···········10分 ‎（III）对非空数集T，定义运算 ‎①因为，‎ 所以，当且仅当时取等号 又因为 所以A中不同元素的差均不相同 同理，B中不同元素的差均不相同 又因为 所以 ‎②令A={1,2,4,8,16},B={-1,-2,-4,-8,-16}‎ 所以中不同元素的差均不相同，B中不同元素的差均不相同 所以 经检验，，符合题意 综上，的最小值为15···········14分