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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版存在、恒成立与最值问题(文)学案

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‎[2019·广州一模]已知函数.‎ ‎(1)若,求的单调区间;‎ ‎(2)当时,记的最小值为,求证.‎ ‎【答案】(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)当时,,的定义域是,‎ ‎,‎ 当时,;当时,.‎ 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.‎ ‎(2)证明:由(1)得的定义域是,,‎ 令,则,在上单调递增,‎ 因为,所以,,‎ 故存在,使得.‎ 当时,,,单调递减;‎ 当时,,,单调递增;‎ 故时,取得最小值,即,‎ 由,得,‎ 令,,则,‎ 当时,,单调递增,‎ 当时,,单调递减,‎ 故,即时,取最大值1,.‎ ‎1.[2019·青海联考]已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)当有最小值,且最小值不小于时,求的取值范围.‎ ‎2.[2019·咸阳模拟]设函数,.‎ ‎(1)当时,求的单调区间;‎ ‎(2)求证:当时,.‎ ‎3.[2019·茂名一模]已知函数在处的切线斜率为.‎ ‎(1)求实数的值,并讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若,证明:.‎ ‎1.【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】(1),‎ 当时,,所以函数在上单调递增;‎ 当时,令,解得,‎ 当时,,故函数在上单调递减;‎ 当时,,故函数在上单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,当时,函数在上单调递增,没有最小值,故.‎ ‎,‎ 整理得,即.‎ 令,易知在上单调递增,且;‎ 所以的解集为,所以.‎ ‎2.【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)当时,,,令,则.‎ 当时,;当时,,‎ ‎∴函数的单调递增区间是;单调递减区间是.‎ ‎(2)由(1)知,当时,,‎ ‎∴当时,,即,‎ 当时,要证,只需证,‎ 令,‎ ‎,‎ 由,可得,‎ 则时,恒成立,即在上单调递增,∴.‎ 即,∴.‎ ‎3.【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1),‎ 由切线斜率,解得.‎ ‎,其定义域为,,‎ 令,解得,故在区间上单调递增;‎ 令,解得,且,故在区间和区间上单调递减.‎ ‎(2)由(1)知,定义域为.‎ 从而等价于,‎ 设,则,.‎ 当时,;当时,.‎ 故在区间上单调递减,在区间上单调递增,‎ 从而在的最小值为.‎ 设,则,‎ 当时,;当时,,‎ 故在区间上单调递增,在区间上单调递减,‎ 从而在的最大值为,‎ 综上所述,在区间上恒有成立,即.‎