- 276.31 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
[2019·广州一模]已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)当时,记的最小值为,求证.
【答案】(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析.
【解析】(1)当时,,的定义域是,
,
当时,;当时,.
所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)证明:由(1)得的定义域是,,
令,则,在上单调递增,
因为,所以,,
故存在,使得.
当时,,,单调递减;
当时,,,单调递增;
故时,取得最小值,即,
由,得,
令,,则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故,即时,取最大值1,.
1.[2019·青海联考]已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当有最小值,且最小值不小于时,求的取值范围.
2.[2019·咸阳模拟]设函数,.
(1)当时,求的单调区间;
(2)求证:当时,.
3.[2019·茂名一模]已知函数在处的切线斜率为.
(1)求实数的值,并讨论函数的单调性;
(2)若,证明:.
1.【答案】(1)见解析;(2).
【解析】(1),
当时,,所以函数在上单调递增;
当时,令,解得,
当时,,故函数在上单调递减;
当时,,故函数在上单调递增.
(2)由(1)知,当时,函数在上单调递增,没有最小值,故.
,
整理得,即.
令,易知在上单调递增,且;
所以的解集为,所以.
2.【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】(1)当时,,,令,则.
当时,;当时,,
∴函数的单调递增区间是;单调递减区间是.
(2)由(1)知,当时,,
∴当时,,即,
当时,要证,只需证,
令,
,
由,可得,
则时,恒成立,即在上单调递增,∴.
即,∴.
3.【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】(1),
由切线斜率,解得.
,其定义域为,,
令,解得,故在区间上单调递增;
令,解得,且,故在区间和区间上单调递减.
(2)由(1)知,定义域为.
从而等价于,
设,则,.
当时,;当时,.
故在区间上单调递减,在区间上单调递增,
从而在的最小值为.
设,则,
当时,;当时,,
故在区间上单调递增,在区间上单调递减,
从而在的最大值为,
综上所述,在区间上恒有成立,即.