【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第6讲　对数与对数函数学案 13页

第6讲　对数与对数函数 ‎1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 底数的限制：a>0，且a≠1‎ 对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x 负数和零没有对数 ‎1的对数是零：loga1＝0‎ 底数的对数是1：logaa＝1‎ 对数恒等式：a＝N 运算性质 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，‎ M>0，N>0‎ loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R)‎ 换底公式 公式：logab＝ ‎(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)‎ 推广：logambn＝logab；logab＝ ‎2.对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，y>0‎ 当01时，y<0‎ 当00‎ 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ‎3.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)‎ ‎(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　)‎ ‎(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　　)‎ ‎(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)‎ ‎(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)‎ ‎(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只经过第一、四象限．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ ‎ (教材习题改编)(log29)·(log34)＝(　　)‎ A．　　　　　　　　　 B． C．2 D．4‎ 解析：选D.原式＝·＝4.‎ ‎ (教材习题改编)函数y＝log2x2的大致图象是(　　)‎ 解析：选D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)．‎ 所以y＝log2x2的图象关于y轴对称，故选D.‎ 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝作出图象可知选D.‎ ‎ (教材习题改编)函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．‎ 解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.‎ 所以函数的图象恒过点(3，1)．‎ 答案：(3，1)‎ ‎ (教材习题改编)若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：当01时，loga1.‎ 答案：∪(1，＋∞)‎ ‎ 函数y＝的定义域为________．‎ 解析：要使函数y＝有意义，‎ 则，即.‎ 解之得0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)‎ A．a>1，c>1　　　　　　 B．a>1，01 D．01时不满足条件，当0，所以a的取值范围为(，1)．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 对数函数图象的识别及应用方法 ‎(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．‎ ‎(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)‎ 解析：选C．函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C．‎ ‎2．若不等式(x－1)21时，如图所示，‎ 要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，‎ 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，‎ 所以1b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a ‎【解析】　(1)由f(x)是奇函数可得，a＝－f＝f(log25)，因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)是增函数，所以clog33＝1，b＝log2b，又＝＝(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A ‎ 角度二　解对数不等式 ‎ 设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)‎ ‎【解析】　由题意，得或 解得a>1或－10且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，‎ 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．‎ 所以3－2a>0.所以a<.‎ 又a>0且a≠1，‎ 所以a∈(0，1)∪.‎ ‎(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，‎ 所以函数t(x)为减函数．‎ 因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，‎ 所以y＝logat为增函数，‎ 所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ 所以即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.‎ ‎(1)比较对数值的大小的方法 ‎①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．‎ ‎②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．‎ ‎③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．‎ ‎(2)解对数不等式的类型及方法 ‎①形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解．‎ ‎(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 ‎[通关练习]‎ ‎1．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)‎ A．[－1，2] B．[0，2]‎ C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)‎ 解析：选D.当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.‎ ‎2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)‎ A．[1，2) B．[1，2]‎ C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)‎ 解析：选A．令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．‎ ‎ 对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或00；‎ 当a>1且01时，logab<0.‎ ‎ 对数函数图象的画法 画对数函数y＝logax的图象应抓住三个关键点：(a，1)，(1，0)，.‎ ‎ 对数值的大小比较方法 ‎(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．‎ ‎ 解决与对数函数有关问题时应关注两点 ‎(1)务必先研究函数的定义域；‎ ‎(2)务必要注意对数底数的取值范围，即注意底数a与1的大小关系．‎ ‎1．函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A．　　　　　　　 B．(2，＋∞)‎ C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞)‎ 解析：选C．要使函数有意义，(log2x)2－1>0，‎ 即log2x>1或log2x<－1，‎ 所以x>2或0f(2) B．f(a＋1)f(2)．‎ ‎3．设a＝log510，b＝log612，c＝log714，则(　　)‎ A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 解析：选D.因为a＝log510＝1＋log52，b＝log612＝1＋log62，c＝log714＝1＋log72，又0log62>log72>0，所以a>b>c，故选D.‎ ‎4．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)‎ A．00，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ 解：(1)因为f(1)＝2，‎ 所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.‎ 由得x∈(－1，3)，‎ 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2[(1＋x)(3－x)]‎ ‎＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ ‎10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.　‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；‎ ‎(3)当a＞1时，求使f(x)＞0成立的解集．‎ 解：(1)要使函数f(x)有意义，‎ 则解得－1＜x＜1.‎ 故所求函数f(x)的定义域为(－1，1)．‎ ‎(2)f(x)为奇函数．证明如下：‎ 由(1)知f(x)的定义域为(－1，1)，‎ 且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)‎ ‎＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，‎ 故f(x)为奇函数．‎ ‎(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1，1)内是增函数，‎ 所以f(x)＞0⇔＞1，‎ 解得0＜x＜1.‎ 所以使f(x)＞0的x的解集是(0，1)．‎ ‎1．已知函数f(x)＝－x＋log2＋2，则f()＋f(－)的值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．10‎ 解析：选B．因为函数g(x)＝－x＋log2是奇函数，所以g()＋g(－)＝0，则f()＋f(－)＝g()＋2＋g(－)＋2＝4.故选B．‎ ‎2．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)‎ A．01时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.‎ 当00，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数，‎ 所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，所以a>1.‎ 又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3.‎ ‎4．设函数f(x)＝|logax|(00，a>0.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．‎ 解：(1)由x＋－2>0，得>0.‎ 因为x>0，所以x2－2x＋a>0.‎ 当a>1时，定义域为(0，＋∞)；‎ 当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；‎ 当00，‎ 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，‎ 即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，‎ 记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.‎ 而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.‎