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- 2021-06-16 发布
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第二节 随机抽样
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.
(对应学生用书第160页)
[基础知识填充]
1.抽样调查
(1)抽样调查
通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行调查或观测,获取数据,并以此对调查对象的某些指标作出推断,这就是抽样调查.
(2)总体和样本
调查对象的全体称为总体,被抽取的一部分称为样本.
(3)抽样调查与普查相比有很多优点,最突出的有两点:
①迅速、及时;
②节约人力、物力和财力.
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样时,要保证每个个体被抽到的概率相同.
(2)通常采用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.
3.分层抽样
(1)定义:将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本.这种抽样方法通常叫作分层抽样,有时也称为类型抽样.
(2)分层抽样的应用范围:
当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.
4.系统抽样
系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本,然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样.
[知识拓展] 三种抽样方法的共性:等概率抽样,不放回抽样,逐个抽取,总体确定.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.( )
(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.( )
(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( )
(4)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(教材改编)在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体 B.个体
C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本
A [从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间,样本容量是200,抽取的200名居民的阅读时间是一个样本,每名居民的阅读时间就是一个个体,5 000名居民的阅读时间的全体是总体.]
3.老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是( )
A.随机抽样 B.分层抽样
C.系统抽样 D.以上都不是
C [因为抽取学号是以5为公差的等差数列,故采用的抽样方法应是系统抽样.]
4.利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,则总体中每个个体被抽到的概率是________.
[总体个数为N=8,样本容量为M=4,则每一个个体被抽到的概率为P===.]
5.(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
18 [∵==,
∴应从丙种型号的产品中抽取×300=18(件).]
(对应学生用书第160页)
简单随机抽样
(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;
③某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
(1)A (2)C [(1)①②③中都不是简单随机抽样,这是因为:①是放回抽样,②中是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取,③中“
指定个子最高的5名同学”,不存在随机性,不是等可能抽样.
(2)根据题意得,=,解得n=28.故每个个体被抽到的概率为=.]
[规律方法] 1.简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少.(2)逐个抽取.(3)不放回抽取.(4)等可能抽取.只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样.
2.抽签法与随机数法的适用情况
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况,随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是制签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
3.从总体数N中抽取一个样本容量为n的样本
(1)在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率是.
(2)在一次抽取中,每个个体被抽到的概率是.
[跟踪训练] (1)下列抽样检验中,适合用抽签法的是( )
A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
(2)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.01
(1)B (2)D
[(1)A,D中总体的个体数较多,不适宜用抽签法,C中,一般甲、乙两厂的产品质量有区别,也不适宜用抽签法,故选B.
(2)由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01,所以第5个个体的编号是01.]
系统抽样
(1)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…,1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A.12 B.13
C.14 D.15
(2)(2017·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班,学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为1到30,现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查,若抽到的编号之和为75,则抽到的最小的编号为________.
【导学号:79140323】
(1)A (2)3 [(1)根据系统抽样的特点可知,所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d==20的等差数列{an},∴通项公式an=8+20(n-1)=20n-12,令751≤20n-12≤1 000,得≤n≤,又∵n∈N+,∴39≤n≤50,∴做问卷C的共有12人,故选A.
(2)系统抽样的抽取间隔为=6.
设抽到的最小编号为x,
则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)+(24+x)=75,所以x=3.]
[规律方法] 1.系统抽样的三个关注点
(1)若不改变抽样规则,则所抽取的号码构成一个等差数列,其首项为第一组所抽取的号码,公差为样本间隔.故问题可转化为等差数列问题解决.
(2)抽样规则改变,应注意每组抽取一个个体这一特征不变.
(3)如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.
2.系统抽样有一个抽样距其步骤为剔除,编号,均分,抽样.
[跟踪训练] 为规范学校办学,某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A.13 B.19
C.20 D.51
C [由系统抽样的原理知抽样的间隔为=13,故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+13×2,7+13×3,从而可知选C.]
分层抽样
(1)(2018·南昌一模)某校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中,抽取81人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为30,那么n=( )
A.860 B.720
C.1 020 D.1 040
(2)(2018·南京、盐城、连云港二模)下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示:
不喜欢戏剧
喜欢戏剧
男性青年观众
40
10
女性青年观众
40
60
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人作进一步的调研,若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”中抽取了8人,则n的值为________.
(1)D (2)30 [由分层抽样的特点可得=,解得n=1 040,故选D.
(2)由题意可得n=×150=30.]
[规律方法] 进行分层抽样的相关计算时,常用到的两个关系
(1)=;
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
[跟踪训练] (1)某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现分层抽取容量为45的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )
A.15,10,20 B.10,5,30
C.15,15,15 D.15,5,25
(2)某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1 300
样本容量(件)
130
由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C的产品数量是________件.
【导学号:79140324】
(1)A (2)800 [(1)三个年级抽取的人数分别为×45=15,×45=10,×45=20.故选A.
(2)设样本容量为x,则×1 300=130,
∴x=300.∴A产品和C产品的样本中共有300-130=170(件).设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,
∴y=80.∴C产品的数量为×80=800(件).]