高考数学常见题型解法归纳反馈训练第76讲离心率取值范围的常见求法 6页

第 76 讲 离心率取值范围的常见求法 【知识要点】 1、求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点. 2、椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ,对于这三种圆锥曲 线的离心率的范围要清楚，自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集. 3、求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：（1）利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关 系；（2）直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；（3）利用函数的思想分析解答. 【方法讲评】 方法一 利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系. 解题步骤 先求出曲线的变量 或 的表达式，再利用它们的范围化简得到离心率的不等式，解不等式 即可得到离心率的取值范围. 【例 1】 设椭圆 的左右焦点分别为 ， ,如果椭圆上存在点 ，使 ，求离心率 的取值范围. 从而 ，且 所以 【点评】（1）本题主要椭圆中的 满足 建立了关于离心率的不等式.(2)求 离心率的取值范 围，注意圆锥曲线离心率法范围，椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，求出离 心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解. 【反馈检测 1】双曲线 在右支上存在与右焦点、左准线长等距 离的点，求离心率 的取值范围. 方法二 直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式. 解题步骤 根据已知中的不等关系，得到关于 的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式. 【例 2】已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 【点评】本题就是直接根据“直线与双曲线的右支有且只有一个交点”得到关于 的 不等式，再转化成关于 的二次不等式，解二次不等式即得离心率的取值范围. 【反馈检测 2】过双曲线的右焦点 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于 ， 两点， 设双曲线的左顶点为 ，若点 在以 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率 的取 值范围为( ) A． B． C． D． 方法三 利用函数的思想分析解答. 解题步骤 根据题意，建立关于离心率的函数表达式，再利用函数来离心率函数的值域. 【例 3】设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【点评】本题就是利用离心率的公式建立了关于实数 的函数 ，再利 用二次函数的图像和性质来求函数的值域，即得离心率的取值范围. 【反馈检测 3】已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为点 ， 为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率 的取值 范围为（ ） A. B. C. D. 【反馈检测 4】设双曲线 ： 与直线 相交于不同的两点 ．求 双曲线 的离心率 的取值范围. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 76 讲： 离心率取值范围的常见求法参考答案 【反馈检测 1 答案】 【反馈检测 2 答案】 【反馈检测 2 详细解析】设双曲线方程为 ，则直线 AB 方程为： ，其中 ， 因 此 ， 设 ， ， ∴ ， 解 之 得 ， 得 ∵双曲 线的 左焦 点 在以 为直 径的 圆内 部,∴ ，即 ＜ ， 将 ， 并 化 简 整 理 ， 得 ， 两 边 都 除 以 ， 整 理 得 ， 解之得 （舍负）故选 . 【反馈检测 3 答案】 【反馈检测 3 详细解析】∵ 和 关于原点对称 ∴ 也在椭圆上 设左焦点为 根据椭圆定义： 又∵ ∴ ① 是 的斜边中点，∴ 又 ② ③ ②③代入① ∴ 即 ∴ , 所以 . 【反馈检测 4 答案】